§2.1 Определение евклидова пространства.

В предыдущем параграфе линейное (аффинное) пространство было определено как множество элементов (векторов) с заданными в нем операциями умножения на числа и сложения.

С помощью этих операций можно сформулирова ь, что такое прямая, плоскость, число измерений пространства, что такое параллельные прямые и т. д.

Однако этих понятий недостаточно, чтобы охватить все многообразие евклидовой геометрии. Например, в одних терминах сложения и умножения на число мы не сможем дать определение длины вектора, угла между векторами, с полярного произведения векторов и т. д. Ввести эти понятия можно проще всего слудющим образом.

Выберем в качестве основного понятие скалярного произведения, которое определим аксиоматически.

В терминах сложения векторов, умножения их на числа и скалярного произведения векторов мы сможем развить всю евклидову геометрию.

Определение 1. Будем говорить, что в вещественном пространстве R определено скалярное произведение, если каждой паре векторов $ x, y \in R $ поставлено в соответствие действительное число, которое обозначим через $ (x, y), $ причем это соответствие обладает следующими свойствами (удовлетворяет следующим аксиомам):

1. $(x, y) = (y, x), $ т. е. скалярное произведение симметрично.
2. $ (\lambda x, y) = \lambda (x, y), где $\lambda-$ действительное число.
3. $ (_1 + x_2, y) = (x_1, y) + (x_2, y) $ ( дистрибутивнгсть скалярного произведения)
4. Скалярное произведение вектора с самим собой неотрицательно: $ (x, x) \geqslant 0, $ и обращается в нуль, лишь если $ x = 0 $

Аффинное пространство, в котором определено скалярное произведение, удовлетворяющее условиям 1° - 4°, мы называем евклидовых.

Примеры.
1. Под векторами пространства R мы будем понимать векторы изучаемого в элементарной геометрии трехмерного пространства. Скалярное произведение векторов определим как произведение их длин на косинус угла между ними. Можно проверять, что аксиомы 1° - 4° действительно выполнены. Мы предоставляем эту проверку читателю.
2. Векторами пространства R мы назовем всякую систему $n$действительрых чисел $ x = (\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n).$ Сложение векторов и умножение их на число определим так:
$$ x+y = (\xi_1 + \eta_1, \xi_2 + \eta_2, ..., \xi_n + \eta_n), $$
$$ \lambda x = (\lambda \xi_1, \lambda \xi_2, ..., \lambda \xi_n), $$
где
$$ x = (\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n), y=( \eta_1, \eta_2, ..., \eta_n)$$
Скалярное произведение векторов x и y определим формулой
$$ (x, y) = \xi_1, \eta_1 + \xi_2 \eta_2 + ... + \xi_n \eta_n. $$

Легко проверить, что аксиомы 1° - 3° действительно выполнены. Аксиома 4° также справедлива, так как $ (x, x) = \sum \xi_\iota^2 \geqslant 0$ и $ (x, x) = \sum \xo_\iota^2 = 0$ только при $\xi_1 = \xi_2 = ... \xi_n = 0. $

3. Рассмотрим пример более общий, чем пример 2.
Вектор по-прежнему определим как совокупность n действительных чисел. Сложение векторов и умножение их на числа определим так же, как в примере 2.

Зададимся некоторой матрицей $ || \alpha_{ik} ||$. Скалярное произведение векторов x и y определим формулой
$$ (x, y) = \alpha_{11} \xi_1 \eta_1 + \alpha_{12} \xi_1 \eta_2 + ... + \alpha_{1n} \xi_1 \eta_n + $$
$$ + \alpha_{21} \xi_2 \eta_1 + \alpha_{22} \xi_2 \eta_2 + ... + \alpha_{2n} \xi_2 \eta_n + $$
$$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .$$
$$ + \alpha_{n1} \xi_n \eta_n + \alpha_{n2} \xi_n \eta_2 + ... + \alpha_{nn} \xi_n \eta_n + $$

Посмотрим, какие условия нужно наложить на матрицу $ || \alpha_{ik} |,$ чтобы выражение, определяемое формулой (1), действительно удовлетворяло всем аксиомам скалярного произведения.

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что аксиомы 2° и 3° выполнены для всякой матрицы $ || \alpha_{ik} |. $ Для того чтобы была выполнена аксиома 1°, т. е. чтобы выражение (x, y) было симметричным относительно x и y, необходимо и достаточно, чтобы
$$ \alpha_{ik} = \alpha_{ki}, $$
т. е. чтобы матрица $ || \alpha_{ik} || $ была симметричной.

Аксиома 4° требует, чтобы выражение
$$ (x, x) = \overline{\sum_{i, k=1}^{n}} \alpha_{ik} \xi_i \xi_k $$
было неотрицательно для любых $ \xi_1, \xi_2, ..., \xi_n$ и обращалось в нуль, лишь если $ \xi_1 = \xi_2 = ... = \xi_n = 0.$

Однородный многочлен ("квадратичная форма"), определяемый формулой (3), называется положительно определенным, если он принимает лишь неотрицательные значения и обращается в нуль, лишь когда все $ \xi_i$ равны нулю. Аксиома 4° требует, следовательно, чтобы квадратичная форма (3) была положительно определенной.

Так, всякая матрица $ || \alpha_{ik} ||$ задаёт скалярное произведение, определяемое формулой (1), если только эта матрица симметрична [условие 2] и соответствующая ей квадратичная форма - положительно определенная.

Если в качестве матрица $ || \alpha_{ik} || $ взять единичную матрицу, т. е. положить $ \alpha_{ii} = 1$ и $ \alpha_{ik} = 0(i≠k), $ то скалярное произведение $ (x, y) $ примет вид
$$ (x, y) = \overline{\sum_{i=1}^{n}} \xi_i \eta_i $$
и мы получим евклидово пространство, определенное в примере 2.

Упражнение. Показать, что матрица
$ \begin {pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end {pmatrix} $ непригодна для построения скалярного произведения (соответствующая ей квадратичная форма не являетс, положительно определенной), а матрица
$ \begin {pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 2
\end {pmatrix} $ определяет скалярное произведение, удовлетворяющее аксиомам 1°-4°.

В дальнейшем будут указаны простые условия, дающие возможность проверить, будет ли данная квадратичная форма положительно определенной.

4. Векторами пространства $ R$ мы будем называть непрерывные функции, заданные на интервале $ (a, b);$ скалярное произведение таких функций определим как интеграл их произведения
$$ \int\limits_a^b f(t) g(t) dt.$$
Можно проверить, что при таком определении скалярного произведения аксиомы 1° - 4° выполнены.

5. Будем считать векторами многочлены от t степени не выше n-1. Скалярное произведение двух многочленов определим как и в предыдущем примере:
$$ (P, Q) = \int\limits_a^b P(t) Q(t) dt. $$
Аксиомы 1° - 4° проверяются как и в примере 4.