§2.2. Длина вектора. Угол между векторами.

Определим с помощью введённого понятия скалярного произведения длину вектора и угол между векторами.

Определение 2. Длиной вектора $x$ в евклидовом пространстве называется число
$$\sqrt{(x, x)} \qquad \qquad (4)$$
Длину вектора x будем обозначать через $ |x|$.

Естественно пожелать, чтобы угол между векторами, длина вектора и скалярное произведение были связаны обычным соотношением: скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Так в этой фразе смысл всех слов, кроме слов "угол между векторами", нам уже известен, то этим предписывается следующее.

Определение 3. Углом между векторами x и y мы назовем число
$$ \varphi = arccos {{(x, y)} \over {|x| |y|}}, $$
т. е. положим
$$ cos \varphi = {{(x, y)} \over {|x| |y|}}, 0 \leqslant \varphi \leqslant π. $$
Векторы x и y называются ортогональными, если угол между ними равен $ {{π} \over {2}},$ т.е. если
$$ (x, y) = 0. $$

С помощью введенных понятий можно перенести на евклидовы пространства ряд теорем элементарной геометрии*).

Рассмотрим один пример. Если x и y - ортогональные векторы, то $ x + y $ естественно считать диагонально прямоугольника со сторонами x и y. Докажем, что
$$ |x+y|^2 = |x|^2 + |y|^2, $$
т. е. квадрат длины диагонали прямоугольника равен сумме квадратов длин двух его непараллельныэ сторон (теорема Пифагора).

Доказательство По определению квадрата длины вектора
$$ | x + y|^2 = (x + y, x + y). $$
В силу дистрибутивности скалярного произведения (аксиома 3°)
$$ (x+y, x+y) = (x, x) + (x,y) + (y,x) + (y, y). $$
В силу ортогональности векторов x и y
$$ (x, y) = (y, x) = 0. $$
Следовательно,
$$ |x+y|^2 = (x, x) + (y, y) = |x|^2 + |y|^2, $$
что и требовалось доказать.

Эту теорему можно обобщить: если векторы $ x, y, z, ...$ попарно ортогональны, то
$$ |x + y + z ...|^2 = |x|^2 + |y|^2 + |z|^2 + ... $$