§2.3 Неравенство Коши-Буняковского.

В предыдущем пункте у нас остался пробел. Мы определили угол $ \varphi $ между векторами x и y формулой
$$ cos \varphi = {{(x, y)} \over {|x| |y|}} $$

Для того чтобы можно было определить $ \varphi $ из этого равенства, нужно доказать, что
$$ -1 \leqslant {{ (x, y)} \over {|x| |y|}} \leqslant 1 $$
или, что то же самое, что
$$ {{ (x, y)^2} \over {|x|^2 |y|^2}} \leqslant 1, $$
т. е.
$$ (x, y)^2 \leqslant (x, x) (y, y). $$
Это неравенство называется неравенством Коши-Буняковского.

Итак, для того чтобы иметь право определит угол между двумя векторами формулой (5), мы должны доказать неравенство Коши-Буняковского*).

Чтобы доказать его, рассмотрим вектор $ x - ty,$ где t - произвольное действительное число. Согласно аксиоме 4° скалярного произведения

$$ (x - ty, x - ty) \geqslant 0, $$
т. е. для любого t
$$ t^2 (y, y) - 2t (x, y) + (x, x) \geqslant 0. $$
Мы видим, что стоящий слева квадратный относительно t трехчлен принимает лишь неотрицательные значения. Следовательно, дискриминант уравнения
$$ t^2 (y, y) - 2t (x, y) + (x, x) = 0. $$
не может быть положительным, т. е.
$$ (x, y)^2 - (x, x) (y, y) \leqslant 0,$$
что и требовалось доказать.

Упражнение. Доказать, что знак равенства в (6) имеет место тогда и только тогда, когда векторы x и y линейно зависимы.

Примеры. Мы доказали неравенство (6) для аксиоматически заданного евклидового пространства. Разберём, как выглядит это неравенство в приведенных выше примерах евклидовых пространств.

1. В примере 1 Неравенство (6) не означает ничего нового.
2. Так как в примере 2 скалярное произведение задаётся формулой
$$ (x, y) = \sum\limits_{i=1}^n \xi_i \eta_i, $$
то
$$ (x, x) = \sum\limits_{i=1}^n \xi_i^2, (y, y) = \sum\limits_{i=1}^n \eta_i^2;$$
поэтому неравенство (6) имеет здесь вид:
$$ (\sum\limits_{i=1}^n \xi_i \eta_i)^2 \leqslant (\sum\limits_{i=1}^n \xi_i^2) (\sum\limits_{i=1}^n \eta_i^2). $$
3. В примере 3 скалярное произведение имеет вид:
$$ (x, y) = \sum\limits_{i, k=1}^n \alpha_{ik} \xi_i \eta_k, $$
где
$$ \alpha_{ik} = \alpha_{ki} \qquad \qquad (2)$$
и
$$ \sum\limits_{i, k=1}^n \alpha_{ik} \xi_i \xi_k \geqslant 0 \qquad \qquad (3) $$
для любых $ \xi_i$. Поэтому равенство (6) означает:
Если числа $ \alpha_{ik} $ удовлетворяют условиям (2) и (3), то имеет место неравенство
$$ (\sum\limits_{i, k=1}^n \alpha_{ik} \xi_i \eta_k)^2 \leqslant (\sum\limits_{i, k=1}^n \alpha_{ik} \xi_i \eta_k) (\sum\limits_{i, k=1}^n \alpha_{ik} \eta_i \eta_k). $$

Упражнение. Показать, что если числа $ \alpha_ik$ удовлетворяют условиям (2) и (3), то $ \alpha_{ik}^2 \leqslant \alpha_{ii} \alpha{kk}. $ (Указание. Выбрать только что выведенном неравенстве специальным образом числа $\xi_1, ..., \xi_n$ и $ \eta_1, \eta_2, ..., \eta_n.) $
4. В примере 4 скалярное произведение задаётся интегралом
$ \int\limits_a^b f(t) g(t) dt, $ поэтому неравенство (6) имеет вид:
$$ ( \int\limits f(t) g(t) dt)^2 \leqslant \int\limits_a^b f^2 (t) dt \dots \int\limits_a^b g^2 (t) dt. $$
Это неравенство играет важную роль в разных вопросах анализа.

Приведем пример неравенства, являющегося следствием неравенства Коши-Буняковского.

Для любых векторов x и y в евклидовом пространстве R имеет место неравенство
$$ |x + y| \leqslant |x| + |y|. $$
Доказательство.
$$ |x + y|^2 = (x + y, x + y) = (x, x) + 2(x, y) + (y, y); $$
так как ( в силу неравенства Коши-Буняковского) $ 2(x, y) \leqslant 2|x| |y|,$ то
$$ |x + y|^2 = (x + y, x + y) = (x, x) + 2(x, y) + (y, y)=$$
$$ = (|x| + |y|)^2, $$
т. е. $ |x + y| \leqslant |x| + |y|,$ что и требовалось доказать.

Упражнение. Написать неравенство (7) в каждом из примеров евклидовых пространств, разобранных в начале этого параграфа.

В геометрии расстояние между двумя точка x и y*) определяется как длина вектора x-y. В общем случае n-мерного евклидова пространство определим расстояние между x и y формулой
$$ d = |x - y|. $$