§3.3 Изофоризм евклидовых пространств.

Мы рассмотрели ряд примеров n-мерных евклидовых пространств. Эти пространства отличались одно от другого во всяком случае способом задания векторов.

Возникает вопрос: какие из этих пространств действительно различны и для каких различие является лишь чисто внешним, т. е. различны лишь способы задания этих пространств?

Для того чтобы вопрос был точно поставлен, нужно определить, какие два евклидовых пространства мы будем считать лишь несущественно различающимися (изоморфными).

Определение 3. Два евклидовых пространства $R$ и $ R'$ называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие $ x \leftrightarrow x' ( \in R, x' \in R')$ так, что:

1° Если $ x \leftrightarrow x' $ и $ y \leftrightarrow y' $, то $ x + y \leftrightarrow x' + y', $ т. е. если вектору $ x \in R$ соответствует вектор $ y;' \in R',$ то сумме $ x + y $ соответствует сумма $ x' + y'.$

2° Если $ x \leftrightarrow x', $ $ \lambda x \leftrightarrow \lambda x'. $

3°. Если $ x \leftrightarrow x' $ и $ y \leftrightarrow y',$ то $ (x, y) = (x', y'),$ т. е. скалярные произведения соответствующих пар векторов равны между собой.

Таким образом, евклидовы пространства $ R_1$ и $R_2$ изоморфны, если они изомофорны как линейные пространства и этот изоморфизм таков, что он сохраняет скалярное произведение соответствующих векторов.

Если в каком-нибудь n-мерном евклидовом пространстве $R$ доказана теорема, сформулированная в терминах сложения, умножения на числа скалярного произведения векторов, то эта же теорема верна и в любом изоморфное пространстве. В самом деле, если как в формулировке, так и в доказательстве такой теоремы заменить векторы из $ R$ соответствующими им векторами из $ R'$, то в силу свойств 1°, 2°, 3° определения изоморфизма все рассуждения останутся справедливыми, т. е. соответствующая теорема верна и в $R'.$
Вернёмся к вопросу, поставленному ранее. Оказывается, что имеет место следующая.
Теорема 2. Все евклидовы пространства данной размерности $n$ изоморфны между собой.
Доказательство. Докажем, что все n-мерные евклидовы пространства изоморфны специально выбранному "стандартному" n-мерному пространству. Тем самым будет доказано, что все n-мерные евклидовы пространства изоморфны между собой.

В качестве стандартного n-мерного пространства $R'$ мы возьмём рассмотренное во втором параграфе (пример) пространство, в котором вектор определяется как совокупность действительных чисел $ x' = ( \xi_1, \xi_2, ..., \xi_n),$ а скалярное произведение векторов $ x' = (\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n)$ и $ y' = (\eta_1,\eta_2, ..., \eta_n)$ задаётся формулой
$$ (x', y') = \xi_1 \eta_1 + \xi_2 \eta_2 + ... + \xi_n \eta_n. $$
Пусть нам дано какое-либо n-мерное евклидово пространство $ R;$ выберем в нем нормированный ортогональный базис $ e_1, e_2, ..., e_n $ ( мы доказали ранее, что во всяком евклидовом пространстве такой базис существует). Поставим в соответствие вектору
$$ x = \xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_n e_n $$
совокупность $n$ чисел $ \xi_1, \xi_2, ..., \xi_n, $ т. е. вектор
$$ x' = (\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n) $$
из $ R'$.
Покажем, что установленное соответствие есть изоморфизм.

Это соответствие взаимно однозначно. Нужно проверить, что выполнены условия 1°-3° определения изоморфизма.

Свойства 1° и 2° очевидны.
Проверим свойство 3°, т. е. равенство скалярных произведений соответствующих друг другу пар векторов. Пользуясь выведенной ранее формулой для скалярного произведения в ортогональном нормированном базисе, имеем:
$$ (x, y) = \xi_1 \eta_1 + \xi_2 \eta_2 + ... + \xi_n \eta_n. $$
С другой стороны, по определению скалярного произведения в пространстве $ R'$ ( пример из параграфа 2.2) имеем:
$$ (x', y') = \xi_1 \eta_1 + \xi_2 \eta_3 + ... + \xi_n \eta_n. $$
Таким образом,
$$ (x, y) = (x', y'), $$
т. е. равенство скалярных произведений доказано.
Теорема полностью доказана.
Упражнение. Доказать эту теорему методом, аналогичным доказательству в параграфе 1.4.

Из теоремы об изоморфизма можно вывести интересное следствие: любое геометрическое утверждение о двух или трёх векторах достаточно проверить в известном из элементарной геометрии трехмерном пространстве *). В самом деле, линейная комбинация этих векторов образует подпространство нашего пространства не более трёх измерений. В силу теоремы об изоморфизма это подпространство изморфно обычному трехмерном у пространству (либо его подпространству) и, следовательно, наше утверждение достаточно проверить в последнем пространстве.

В частности, справедливость неравенства Коши-Буняковского (являющегося утверждением о паре векторов) следует из того, что оно верно в элементарной геометрии. Мы получаем, таким образом, новое доказательство неравенства Коши-Буняковского.

Ещё один пример. В параграфе 2 мы доказали неравенство (7)
$$ |x+y| \leqslant |x| + |y|. $$
В элементарной геометрии это неравенство означает, что длина диагонали параллелограмма не превосходит суммы длин двух смежных сторон, и доказывается в любом учебнике элементарной геометрии. Следовательно, в силу сказанного ранее, это неравенство справедливо в любом евклидовом пространстве. Теорема об изоморфизма даёт нам, таким образом, возможность получить, например, неравенство
$$ \sqrt {\int\limits_{a}^b (f (t) + g (t))^2 dt} \leqslant \sqrt{\int\limits_{a}^b f ^2 (t) dt} + \sqrt{ \int\limits_{a}^b g^2 (t) dt}, $$
являющееся неравенством (7) в пространстве функций (пример 2.4) как непосредственное следствие только что сформулированной теоремы из элементарной геометрии.