§ 4.1 Линейная функция

В этом параграфе мы будем опять заниматься аффинным пространством, а именно, будем изучать простейшие числовые функции от векторов в аффинном пространстве.

Простейшей функцией в аффинном пространстве является линейная функция.

Определение 1. Говорят, что в аффинном пространстве задана линейная функция (линейная форма), если каждому вектору $x$ поставлено в соответствие число $ f(x)$, так что при этом выполнены условия:
1° $ f(x+y) = f(x) + f(y). $
2°$ f(\lambda x) = \lambda f(x). $
Выберем в n-мерном пространстве произвольный базис $ e_1, e_2, ..., e_n. $ Так как каждый вектор $ x$ можно представить в виде
$$ x = \xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_n e_n, $$
то в силу свойств линейной функции имеем:
$$ f(x) = f(\xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_n e_n) = \\ = \xi_1 f (e_1) + \xi_2 f (e_2) + ... + \xi_n f (e_n). $$
Итак: в n-мерном пространстве с заданным базисом линейная функция может быть представлена в виде
$$ f(x) = \alpha_1 \xi_1 + \alpha_2 \xi_2 + ... + \alpha_n \xi_n, \qquaf \qquad (1) $$
где $ \alpha_i = f(e_i) $ - постоянные, зависящие лишь от выбора базиса, а $ \xi_1, \xi_2, ..., \xi_n$ - координаты вектора $ x$ в этом базисе.

Таким образом, данное выше определение линейной функции совпадает, по существу, с принятым в алгебре определением линейной функции (линейной формы); надо лишь иметь в виду, что в нашем случае коэффициенты $ \alpha_i $ зависят от выбора базиса.

Выясним, как меняются коэффициенты линейной функции при замене одного базиса другим.
Пусть $ e_1, e_2, ..., e_n$ и $ e_1', e_2', ..., e_n'$- два базиса в $R$. Пусть, далее, векторы $ e_i'$ выражается через базис $ e_1, e_2, ..., e_n$ формулами
$$ e_1' = \alpha_{11} e_1 + \alpha_{21} e_2 + ... + \alpha_{n1} e_n, \\ e_2' = \alpha_{12} e_1 + \alpha_{22} e_2 + ... + \alpha_{n2} e_n, \\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ e_n' = \alpha_{1n} e_1 + \alpha_{2n} e_2 + ... + \alpha_{nn} e_n. $$

Пусть в базисе $ e_1, e_2, ..., e_n $ линейная функция выражается формулой
$$ f(x) = \alpha_1 \xi_1 + \alpha_2 \xi_2 + ... + \alpha_n \xi_n, $$
а в базисе $ e_1', e_2', ..., e_n' $ - формулрй
$$ f(x) = \alpha_1' \xi_1' + \alpha_2' \xi_2' + ... + \alpha_n' \xi_n'. $$
Так как $ \alpha_i f (e_i), a \alpja_k' = f(e_k'), $ то
$$ \alpha_k' = f(\alpha_{1k} e_1 + \alpha_{2k} e_2 + ... + \alpha_{nk} e_n) = \\ = \alpha_{1k} f (e_1) + \alpha_{2k} f (e_2) + .... + \alpha_{nk} f(e_n) = \\ = \alpha_{1k} \alpha_1 + \alpha_{2k} \alpha_2 + ... + \alpha_{nk} alpha_n. $$

Мы видим, следовательно, что коэффициенты линейной формы преобразуются при переходе к другому базису так же, как векторы базиса ( или, как иногда говорят, когридиентно векторам базиса).

Пример 1. В пространстве, векторами которого являются непрерывные функции $ \varphi (t),$ заданные на отрезке $ [a, b], $ рассмотрим функцию $ f(\varphi),$ заданную формулой
$$ f(\varphi) = \int\limits_a^b \varphi (t) dt. $$

Эта функция линейна, так как выполняются условия 1° и 2°.
Действительно, первое из них означает, что интеграл суммы равен сумме интегралов, а второе означает, что постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
Пример 2. В том же пространстве рассмотрим функцию $ f (\varphi),$ определенную следующим образом. Выберем на отрезке $ [a, b] $ некоторое значение $ t = t_0$ и положим
$$ f (\varphi) = \varphi (_0). $$
Проверьте, что эта функция $ f( \varphi )$ также линейна.