§4.2 Билинейные формы

Существенную роль в дальнейшем будут играть билинейные и квадратичные функции (формы).

Определение 2. Мы говорим, что $ A (x; y) $ есть билинейная функция (билинейгая форма) от векторов $ x$ и $ y,$ если:
1° при фиксированном $ y A(x; y) $ есть линейная функция от $ x,$
2° при фиксированном $ x A(x; y) $ есть линейная функция от $ y$.
Иными словами, в силу определения линейной функции условия 1° и 2° означают соответственно
1° $$ A (x_1 + x_2; y) = A(x_1; y) + A(x_2; y), \\ A(\lambda x; y) = \lambda A (x; y). $$
2° $$ A (; y_1 + y_2) = A(x; y_1) + A(x; y_2), \\ A (x; \mu y) = \mu A (x; y). $$

Примеры 1. Рассмотрим n-мерное пространство, в котором вектор есть совокупность $ n$ чисел. Положим
$$ A(x; y) = \alpha_{11} \xi_1 \eta_1 + \alpha_{12} \xi_1 \eta_2 + ... + \alpha_{1n} \xi_1 \eta_n + \\ \alpha_{21} \xi_2 \eta_1 + \alpha_{22} \xi_2 \eta_2 + ... + \alpha_{2n} \xi_2 \eta_n + \\ . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ + \alpha_{n1} \xi_n \eta_1 + \alpha_{n2} \xi_2 \eta_2 + ... + \alpha_{nn} \xi_n \eta_n, \qquad \qquad (2) $$
где $ x$ есть вектор $ (\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n), $ а $y$ - вектор $ ( \mu_1, \mu_2, ..., \mu_n).$ Формула (2) определяет билинейную функцию. В самом деле, если зафиксировать $ y$, т. е. считать $ \eta_1, \eta_2, ..., \eta_n $ постоянными, то $ \sum_{i, k=1}^n \alpha_{ik} \xi_i \eta_k $ зависит от $ \xi_i$ линейно, т. е. есть линейная функция от $ x=(\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n), $ а при постоянных $ \xi_1, \xi_2, ...., \xi_n $ форма $ A (x; y) - $ линейная функция от $ y$.

2. В пространстве, в котором векторами являются непрерывные функции $ f(t),$ рассмотрим следующий пример билинейной функции. Пусть $ K(s, t) -$ некоторая непрерывная функция переменных $s$ и $t$. Положим
$$ A(f; g) = \int\limits_a^b \int\limits_a^b K (s, t) f(s) g (t) ds dt. $$
$ A (f; g) $ есть билинейная функция векторов $ f$ и $ g$.
Действительно, условия 1° и 2° проверяются, так же, как и в примере 1 предыдущего пункта.
Если $ K(s, t) = 1,$ то
$$ A (f, g) = \int\limits_a^b \int\limits_a^b f($) g(t) ds dt= \int\limits_a^b f (s) ds \int\limits_a^b g(t) dt, $$
т. е. $ A (f, g) $ есть произведение линейных функций $ \int\limits_a^b f(s) ds $ и $ \int\limits_a^b g (t) dt. $

Упражнение. Показать, что если $ f(x) $ и $ g (y) - $ линейные функции, то их произведение $ f(x) \cdot g(y) $ есть билинейная функция.

Определение 3. Билинейная функция (форма) называется симметрической, если для любых векторов $ x$ и $ y$ имеет равенство
$$ A (x; y) = A (y; x). $$
В приведенном выше примере 1 определённая формулой (2) билинейная форма $ A(x; y) $ симметрична тогда и только тогда, когда $ \alpha_{ik} = \alpha_{ki}$ для любых $i$ и $k.$

Скалярное произведение $ (x, y) $ в евлидовом пространстве является примером симметрической билинейной формы.

В самом деле, аксиомы 1°, 2°, 3° скалярного произведения как раз и означают, что скалярное произведение есть симметрической билинейная форма.