§4.5 Квадратичные формы

Определение 4. Пусть $ A(x; y)$ - симметричная билинейная форма. Функция $ A (x; x), $ которая получается из $ A (x; y), $ если положить $ y = x,$ называется квадратичной формой

$ A(x; y) $ называется билинейной формой, полярной к квадратичной форме $ A (x; x). $

Требование симметричности формы $ A(x; y) $ в определении квадратичной формы оправдывается следующим предложением, которое без этого было бы неверно.

Полярная форма $ A(x; y) $ однозначное определяется своей квадратичной формой $ A(x; x). $
Доказательство. Из определения билинейной формы легко следует, что
$$ A (x + y; x + y) = A (x; x) + A (x; y) + A (y; x) + A (y; y). $$
Отсюда в силу симметрии (т. е. равенства $ A (x; y) = A (y; x)) $ получаем:
$$ A (x; y) = {{1} \over {2}} [ A (x+y; x+y) - A (x; x) - A (y; y)]. $$
В правой части этого равенства стоят значения квадратичной формы; следовательно, мы доказали, что билинейная форма $ A (x; y) $ определения своей квадратичной формой *).

*) Функция $ A(x; x), $ полученная из произвольной (не обязательно симметричной) ьилинейной формы $ A (x; y), $ может быть получена и из симметричной билинейной формы. Действительно, пусть $ A(x; y) $ - произвольная билинейгпя форма; тогда
$$ A_1 (x; y) = {{1} \over ,{2}} [ A (x; y) + A (y; x)] $$
есть снова билинейгпя форма и притом, как можно видеть, симметричная. Но
$$ A_1 (x; x) = {{1} \over {2}} [A (x; x) + A (x; x)] = A (x; x), $$
т. е. $ A_1 (x; y) $ приводит нас (при $ y=x)$ к той же квадратичной форме, что и $ A (x; y). $

Выше мы уже доказали, что всякая симметричная билинейная форма $ A (x; y) $ записывается через координаты векторов $ x$ и $ y$ в виде
$$ A(x; y) = \sum_{i, k=1}^n \alpha_{ik} \xi_i \eta_k, $$
где $ \alpha_{ik} = \alpha_{ki}.$ Поэтому:
всякая квадратичная форма $ A(x; x) $ при заданном базисе выражается формулой
$$ A(x; y) = \sum_{i, k=1}^n \alpha_{ik} \xi_i \eta_k, $$
где $ \alpha_{ik} = \alpha_{ki}. $ Введем ещё одно важное

Определение 5. Квадратичная форма $ A(x; x) $ называется положительно определенной, если для любого вектора $ x≠0, $
$$ A (x; x) > 0. $$
Пример. $ A (x; x) = \xi_1^2 + \xi_2^2 + ... + \xi_n^2 $ является, очевидно, положительно определенной квадратичной формой.

Пусть $ A(x; x) $ - положительно определенная квадратичная форма и $ A (x; x) $ - ее полярная форма. В силу сформулированных выше определений это означает:
$$ 1° A (x; y) = A (y; x)
2° A (x_1 + x_2; y) = A (x_1; y) + A (x_2; y).
3° A (\lambda x; y) = \lambda A (x; y).
4° A (x; x) \geqslant 0 и A (x; x) > 0 \text {при} x ≠0. $$
Мы видим, что эти условия совпадают с аксиомами скалярного произведения, сформулированными в параграфе 2. Следовательно,
скалярное произведение есть билинейгпя форма, соответствующая положительно определенной квадратичной форме, и любая такая форма может быть принята за скалярное произведение.

Поэтому мы можем определить евклидово пространство следующим образом.
Евклидовых пространством называется аффинное пространство, в котором выбрана какая-нибудь фиксированная положительно определенная квадратичная форма $ A(x; x). $ Значение $ A(x; y) $ соответствующей *) ей билинейной формы считается при этом скалярным произведением **) векторов $ x$ и $y$.