§6.3 Определители Грама

Результаты этого параграфа мы изложим сейчас для случая, когда в качестве квадратичной формы выбрано скалярное произведение в евклидовом пространстве, т. е.
$$ A(x; x) = (x, x). $$
Мы знаем, что скалярное произведение вектора с собой есть положительно определенная квадратичная форма, и обратно, каждая симметричная билинейная форма, которой соответствует положительно определенная квадратичная форма, может быть принята за скалярное произведение. Поэтому всякая теорема о положительно определенных квадратичных формах является одновременно некоторой теоремой о векторах в евклидовом пространстве.

Пусть $ e_1, e_2, ..., e_k $ - векторы в евклидовом пространстве.
Определитель
$$ \begin{vmatrix}
(e_1, e_1)&(e_1, e_2) .... (e_1, e_k) \\
(e_2, e_1)&(e_2, e_2) .... (e_2, e_k) \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
(e_k, e_1)&(e_k, e_2) ..... (e_k, e_k)
\end{vmatrix} $$
называется определителем Грама этой системы векторов.

Теорема 4. Определитель Грама любой системы векторов всегда больше или равен нулю. Он равен нулю тогда и только тогда, когда векторы $ e_1, e_2, ..., e_k$ линейно зависимы.
Доказательство. Пусть векторы $ e_1, e_2, ..., e_k $ линейно независимы. Рассмотрим билинейную форму
$$ A(x; y) = (x, y), $$
где $ (x, y) $ - скалярное произведение векторов $ x$ и $y$. Тогда определитель Грама есть определитель $ \Delta_k,$ рассмотренный в этом параграфе [см. формулу (7)]. Так как $ A(x; x) $ - положительно определенная квадратичная форма, то в силу теоремы 3, $ \Delta_k > 0. $

Докажем, что в случае линейно зависимых векторов определитель Грама равен нулю. Действительно, если $ e_1, e_2, ..., e_k $ линейно зависимы, то хоть один из них, например $ e_k$, есть линейная комбинация остальных:
$$ e_k = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + ... + \lambda_{k-1} e_{k-1}. $$
Поэтому последняя строка в определителе Грама есть линейная комбинация остальных. Значит, он равен нулю. Теорема доказана.

В качестве примера рассмотрим определитель Грама двух векторов $x$ и $y$:
$$ \Delta_2 = \begin{vmatrix}
(x, x) & (x, y) \\
(y, x) & (y, y)
\end{vmatrix} $$
Утверждение, что $ \Delta_2 > 0, $ превращается в этом случае в неравенство Коши-Буняковского.

Примеры.
1. В евклидовом трехмерном пространстве (или на плоскости) определитель
$$ \Delta_2 = \begin{vmatrix}
(x, x) & (x, y) \\
(y, x) & (y, y)
\end{vmatrix} $$
имеет следующий геометрический смысл: $ \Delta_2$ равно квадрату площади параллелограмма, построенного на векторах $x$ и $y.$ В самом деле, по определению скалярного произведения
$$ (x, y) = (y, x) = |x||y| \cos \phi, $$
где $ \phi$ - угол между векторами $x$ и $y$. Поэтому
$ \Delta_2 = |x|^2 |y|^2 - |x|^2 |y|^2 \cos^2 \phi = \\ = |x|^2 |y|^2 (1- \cos^2 \phi) |x|^2 |y|^2 \sin^2 \phi, $
т. е. $ \Delta_2$ равно квадрату площади параллелограмма, построенного на векторах $ x$ и $y.$
2. В трехмерном пространстве объем параллелограмма, построенного на векторах $ x, y, z, $ как показывается в аналитической геометрии, равен абсолютной величине определителя
$$ u = \begin{vmatrix}
x_1& x_2& x_3 \\
y_1& y_2& y_3 \\
z_1& z_2& z_3
\end{vmatrix} $$,
где $ x_i, y_i, z_i$ - координаты векторов $ x, y, z$ в ортогональном базисе. Вычислим квадрат этого определителя, умножая строки на строки.
Мы получим:
$$ u^2 = \begin{vmatrix}
x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 x_1y_1 + x_2 y_2 + x_3 x_3 x_1 z_1 + x_2 z_2 + x_3 z_3 \\
y_1 x_1 + y_2 x_2 + y_3 x_3 y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 y_1 z_1 + y_2 z_2 + y_3 z_3 \\
z_1 x_1 + z_2 x_2 + z_2 x_2 + z_3 x_3 z_1 y_1 + z_2 y_2 + z_3 y_3 & z_1^2 + z_2^2 + z_3^2
\end{vmatrix} = \\
= \begin{vmatrix}
(x, x) & (x, y) & (x, z) \\
(y, x) & (y, y) & (y, z) \\
(z, x) & (z, y) & (z, z)
\end{vmatrix}. $$
Таким образом, определитель Грама векторов $x, y, z$ равен квадрату объема параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Аналогично можно показать, что определитель Грама $k$ векторов $ x, y, ..., w$ в $k$ - мерном пространстве *) равен квадрату определителя
$$ \begin{vmatrix}
x_1& x_2 ... x_k \\
y_1& y_2 ... y_k \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
w_1& w_2 ... w_k
\end{vmatrix}, \qquad (9) $$
где $ x_i$, соответственно $ y_i$ и т. д. - координаты вектора $x,$ соответственно $y$ и т. д. в каком-нибудь ортогональном базисе.

По аналогии с трехмерным пространство модуль определителя (9) называют объемом $k$ - мерного параллелепипеда, определяемого векторами $ x, y, ..., w. $

3. В пространстве функций (пример 4 параграфа 2) определитель Грама пишется так:
$$ \Delta = \begin{vmatrix}
\int\limits_a^b f_1^2 (t) dt \int\limits_a^b f_1 (t) f_2 (t) dt . . . \int\limits_a^b f_1 (t) f_k (t) dt \\
\int\limits_a^b f_2 (t) f_1 (t) dt \int\limits_a^b f_2^2 (t) . . .\int\limits_a^b f_2 (t) f_k (t) dt \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\
\int\limits_a^b f_k (t) f_1 (t) dt \int\limits_a^b f_k (t) f_2 (t) f_2 (t) dt . . . \int\limits_a^b f_k^2 (t) dt
\end{vmatrix} $$
и доказанная теорема означает:
Определитель Грама системы функций $ \geqslant 0. $ Для линейной зависимости системы функций необходимо и достаточно, чтобы их определитель Грама был равен нулю.