§8.1 Комплексное линейное пространство. §8.2 Комплексное евклидово пространство.

1 Как указывалось в первом параграфе, все изложенные там результаты справедливы для пространства над любым полем и, значит, в частности для пространства над полем комплексных чисел.

2 Комплексным евклидовы пространством называется комплексное линейное пространство, в котором введено скалярное произведение, т. е. каждой паре векторов $ x$ и $y$ поставлено в соответствие комплексное число $ (x, y) $ причем выполнены следующие аксиомы:
1° $ (x, y) = (y, x) \text{(под} (y, x) $ мы понимаем число, комплексно сопряжённые с $ (y, x)); $
2° $(\lambda x, y) = \lambda (x, y); $
3° $(x_1 + x_2, y) = (x_1, y) + (x_2, y); $
4° $(x, x) $ есть вещественное неотрицательное число, равное нулю лишь при $ x = 0. $
Из аксиом 1° и 2° следует, что $ (x, \lambda y) = \lambda (x, y). $ Действительно,
$$ (x, \lambda y) = ( \lambda y, x) = \lambda ( y, x) = \lambda (x, y). $$
Далее справедливо равенство $ (x, y_1 + y_2) = (x, y_1) + (x, y_2). $
В самом деле,
$ (x, y_1 + y_2) = (y_1 + y_2, x) = (y_1, x) + (y_2, x) = (x, y_1) + (x, y_2). $

Аксиома 1° отличается от соответствующей аксиомы 1° для вещественного евклидового пространства; при переходе к комплексному пространству мы не могли бы сохранить аксиомы 1°, 2°, 4° вещественного евклидового пространства без изменений. В самом деле, если бы
$$ (x, y) = (y, x) $$
то
$$ (x, \lambda y) = \lambda (x,y). $$
Но тогда
$$ (\lambda x, \lambda x) = \lambda^2 (x, x); $$
следовательно, в частности
$$ (ix, ix) = - (x, x), $$
т. е. числа $ (x, x)$ и $ (y, y),$ где $ y=ix,$ были бы разных знаков, что противоречит аксиоме 4°.

Примеры комплексных евклидовых пространств.
1. Вектором пространства $R$ мы назовем систему n комплексных чисел. Сложение векторов и умножение их на числа определим обычным образом. Скалярное произведение векторов
$$ x= (\xi_1, \xi_2, ..., \xi_k) \text{и} y= (\eta_1, \eta_2, ..., \eta_n) $$
зададим формулой
$$ (x, y) = \xi_1 \eta_1 + \xi_2 \eta_2 + ... + \xi_n \eta_n. $$
Мы предоставляем читателю проверить, что аксиомы 1°-4° выполнены. В частности скалярное произведение вектора с самим собой задаётся формулой
$ (x, x) = \xi_1 \xi_1 + \xi_2 \xi_2 + ... + \xi_n \xi_n = |\xi_1|^2 + |\xi_2|^2 + ... + |\xi_n|^2. $$

2. Векторы в пространстве $R$ определим, как и в примере 1. Скалярное произведение задаём формулой
$$ (x, y) = \sum_{i, k=1}^n lalpha_{ik} \xi_i \eta_k, $$
где $ \alpha_{ik} $ - заданные комплексные числа, удовлетворяющие условиям:
$ \alpha ) a_{ik} = a_{ki}, \\
\beta ) \sum_{ik} \xi_i \xi_k \geqslant 0 $ для любых $ \xi_1, \xi_2, ..., \xi_n $ и обращается в нуль лишь при $ \xi_1 = \xi_2 = ... = \xi_n = 0. $

3. Векторами пространства $ R$ мы будем считать функции от t, заданные на отрезке [a, b] и принимающие комплексные значения. Скалярное произведение двух таких функций определим формулой
$$ (f (t), g(t)) = \int\limits_a^b f (t) g(t) dt. $$
Можно проверить, что все аксиомы скалярного произведения при этом выполнены.

Длиной вектора $x$ назовем $ \sqrt{(x, x)}. $ Из аксиомы 4° следует, что длина вектора неотрицательно и обращается в нуль лишь для нулевого вектора. Так как скалярное произведение двух векторов, вообще говоря, комплексно, то мы не будем определять угла между векторами, а введем лишь понятие ортогональности двух векторов.

Векторы $x$ и $y$ называются ортогональными, если $ (x, y) = 0. $