§8.4 Билинейные и квадратичные формы

Все определения (линейной функции, квадратичной формы и т. д.), введённые в параграфе 4 (за исключением понятия положительной определенности), имеют смысл для линейного пространства над любым полем, в том числе и над полем комплексных чисел. Однако в случае комплексного линейного пространства можно ещё по-другому ввести эти понятия; для нас именно этот второй способ будет даже более существенным.

Линейные функции первого и второго рода. Функция, ставящая в соответствие каждому вектору комплексное число, называется линейной функцией первого рода, если она удовлетворяет следующим условиям:
1° $$ f(x+y) = f(x) + f(y), $$
2° $$ f(\lambda x) = \lambda f (x). $$
Это совпадает с определением линейной функции в параграфе 4.
Линейной функцией второго рода называется функция, удовлетворяющая условиям
1° $$ f(x+y) = f(x) + f(y), $$
2° $$ f(\lambda x) \overline{\lambda} f(x). $$
Так же, как и в параграфе 4, можно доказать, что всякая линейная функция первого рода может быть записана в виде
$$ f(x) = \alpha_1 \xi_2 + \alpha_2 \xi_2 + ... + \alpha_n \xi_n, $$
где $ \xi_i$ - координаты вектора $x$ в базисе $ e_1, e_2, ..., e_n,$ а $ \alpha_i$ - постоянные, $ \alpha_i = f(e_i). $
Всякая же линейная функция второго рода может быть записана в виде:
$$ f(x) = b_1 \overline{\xi_1} + b_2 \overline{\xi_2} + ... + b_n \overline{\xi_n}. $$
Очевидно, что если $ f(x) $ - линейная функция первого рода, то $ \over{f(x)} $ - линейная функция второго рода.

Как было определено выше ( 4.2), ьилинейной функцией называется функция двух векторов $ A(x; y),$ линейная по каждому из аргументов. Наличие в комплексном пространстве двух типов линейных функций приводит к существованию целых четырех типов билинейных функций - линейных первого рода и по $x$ и по $y$, первого рода по $x$ и второго рода по $y$, второго рода по $x$ и первого по $y$ по обоим аргументам. Но третий и четвертый типы комплексно сопряжены соответственно ко второму и первому, а Билинейные функции первого типа определяются в комплексном пространстве буквально так же, как и в вещественном. Поэтому мы остановимся подробнее лишь на билинейных формах второго типа. Для краткости будем называть их просто билинейными. Итак, введем следующее определение:
Определение 1. Будем говорить, что $A(x;y) $ есть билинейная функция (форма) от векторов $x$ и $y$, если
1° при фиксированном $y A(x; y) $ есть линейная функция первого рода от $x$;
2° при фиксированном $x A(x;y) $ есть линейная функция второго рода от $y$. Или, иначе:
1° $$ A(x_1 + x_2; y) = A(x_1; y) + A(x_2; y), \\
A(\lambda x; y) = \lambda A (x; y), $$
2° $$ A(x; y_1 + y_2) = A(x; y_1) + A(x; y_2), \\
A(x; \mu y) = \overline{\mu} A(x; y). $$
Примером билинейной функции является скалярное произведение в комплексном евклидовом пространстве
$$ A(x; y) = (x, y), $$
рассматриваемое как функция векторов $x$ и $y$. Другим примером билинейной формы в комплексном пространстве является выражение
$$ A(x; y) = \sum_{i, k=1}^n \alpha_{ik} \xi_i \over{\eta_k}, $$
рассматриваемое как функция векторов
$$ x= \xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_n e_n \text{и} y= \eta_1 e_1 + \eta_2 e_2 + ...+ \eta_n e_n. $$
Легко проверить, что условия, определяющие билинейную функцию, при этом выполнены.

Пусть $ e_1, e_2, ..., e_n $ - некоторый базис в n-мерном комплексном пространстве. Пусть $A(x; y)$ - билинейгпя форма, $x$ и $y$ можно записать в виде
$$x= \xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + ...+ \xi_n e_n, y=\eta_1 e_1 + \eta_2 e_2 + ... + \eta_n e_n. $$
Тогда
$$ A(x; y) = A(\xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_n e_n; \eta_1 e_1 + \eta_2 e_2 + ... + \eta_n e_n) = \\
= \sum_{i, k=1}^n \xi_i \overline{\eta_k} A (e_i; e_k). $$
Матрица $ || \alpha_{ik} ||$ из чисел
$$ \alpha_{ik} = A(e_i; e_k) $$
называется матрицей билинейной формы $ A(x; y) $ в базисе $ e_1, e_2, ..., e_n. $
Если в билинейной форме $ A(x; y) $ положить $ y= x, $ то получится функция $A(x; x), $ называемая квадратичной формой (в комплексном пространстве). Справедливо следующее утверждение:

Всякая билинейная форма однозначно определяется своей квадратичной формой *).

Доказательство. Пусть $A(x; x) $- квадратичная форма, а $x$ и $y$ - произвольные векторы. Легко проверить, что имеет место тождество **)
$$ A(x; y) = {{1} \over {4}} {A(x+y; x+y) + iA(x+iy; x+iy) - \\
-A(x-y; x-y) - iA(x-iy; x-iy)} \qquad (1) $$
Выражение, стоящее справа в формуле (1), представляет собой комбинацию значения квадратичной формы для векторов $ x+y, x-y, x+iy$ и $x-iy.$ Слева стоит значение билинейной формы для произвольных векторов $x$ и $y$. Таким образом, билинейная форма однозначно определяется своей квадратичной формой.

Определение 2. Билинейная форма называется эрмитовой, если
$$ A(x; y) = \overline{A(y; x)}. $$
Это понятие является аналогом понятия симметричной билинейной формы в вещественном евклидовом пространстве

Для того чтобы форма $A(x; y) $ была эрмитовой, необходимо и достаточно, чтобы ее матрица $ || \allha_{ik} ||$ в каком-либо базисе удовлетворяла условию
$$ \alpha_{ik} = \overlinr{\alpha_ki}. $$
Действительно, если форма $ A(x; y) $ эрмитова, то
$$ \alpha_{ik} = A(e_i; e_k) = \overline{A(e_k; e_i)} = \overline{\alpha_{ki}}. $$
Обратно, если $ \alpha_{ik} = \overline{\alpha_{ki}},$ то
$$ A(x;y) = \sum \alpha_{ik} \xi_i \overline{\eta_k} = \overline{\sum \alpha_{ki} \eta_k \xi_i} = \overline{A(y;x).}. $$
Замечание. Если в каком-либо базисе матрица билинейной формы удовлетворяет условию $ \alpha_{ik} = \overline{\alpha_{ki}}, $ то это же условие выполнены для матрицы в этой ьилинейной формы и в любом другом базисе. В самом деле, если в каком-либо базисе равенство $ \alpha_{ik} = \overline{\alpha_{ki}}$ имеет место, то $ A(x, y) $ является эртимитовой билинейной формой; но тогда и в любом другом базисе $\alpha_{ik} = \overline{\alpha_{ki}}. $
Если билинейгпя форма эртимитова, то соответствующая ей квадратичная форма тоже называется эртимитовой.
Для того чтобы билинейгпя форма $ A(x; y) $ была эртимитовой, необходимо и достаточно, чтобы $ A(x; x) $ было вещественно для любого вектора $x$.

Доказательство. Пусть форма $A(x; y) $ эртимитова, т. е. $ A(x; y) = \overline{A(y; x)}. $ Тогда, полагая $ x=y$, получаем:
$$ A(x; x) = \overline{A(x; x)}, $$
т. е. число $ A(x; x) $ равно своему сопряженному и, значит, вещественно. Обратно, пусть $ A(x; x) $ вещественно для любого вектора $x$. Тогда $ A(x+y; x+y), A(x+iy; x+iy), A(x-y; x-y), A(x-iy, x-iy) $ вещественны, и поэтому из формулы (1) непосредственно видно, что выражения $ A(x;y) $ и $ A(y; x) $ являются комплексно сопряжёнными.
Следствие. Квадратичная форма эртимитова в том и только в том случае, когда она принимает только вещественные значения.

Действительно, только что было доказано, что для эртимитовости билинейной формы $ A(x; y) $ необходимо и достаточно, чтобы $ A(x; x) $ была вещественная для всех $x$.
Примером эртимитовой квадратичной формы является форма
$$ A(x; x) = (x, x), $$
где $ (x, x) $ означает скалярное произведение вектора $x$ с самим собой. Действительно, аксиомы 1°-3° скалярного произведения в комплексном евлидовом пространстве означают, что $(x, y) $ есть эртимитова билинейная форма, и поэтому $ (x, x) $ есть эртимитова квадратичная форма.

Если, как и в параграфе 4, назвать положительно определенной квадратичную форму, удовлетворяющую условию
$$ A(x; x) > 0 \text{при} x≠0, $$
то комплексное евклидово пространство можно определить как комплексное линейное пространство, в котором задана положительно определенная эртимитова квадратичная форма.
Аналогично тому, как это сделано в вещественном пространстве, можно показать, что если A и B суть матрицы билинейной формы $ A(x; y) $ соответственно в базисах $ e_1, e_2, ..., e_n $ и $ f_1, f_2, ..., f_n, $ то
$$ B= C* AC, $$
где C - матрица перехода от базиса $ e_1, e_2, ..., e_n $ к базису $ f_1, f_2, ..., f_n, $ а C* - матрица транспонированная и комплексно-сопряженная к матрице C.