§8.6 Приведение эрмитовой квадратичной формы к сумме квадратов треугольным преобразованием. Закон инерции

Пусть $ A(x; x) $ - эртимитова квадратичная форма в комплексном линейном пространстве и $ e_1, e_2, ..., e_n $ - базис. Мы будем предполагать, что определители
$$ \Delta_1 = \alpha_{11}, \Delta_2 = \begin{vmatrix}
a_{11} a_{12} \\
a_{21} a_{22}
\end{vmatrix}, . . . ., \Delta_n = \begin{vmatrix}
a_{11} a_{12} ... a_{1n} \\
a_{21} a_{22} ... a_{2n} \\
. . . . . . . . . . \\
a_{n1} a_{n2} .... a_{nn}
\end{vmatrix}, $$
где $ \alpha_{ik} = A(e_i; e_k) $ отличны от нуля. Тогда, так же как и в параграфе 6, мы можем написать формулу для нахождения базисов, в которых квадратичная форма приводится к сумме квадратов. Эти формулы в точности совпадают с формулами (3) и (6) в параграфе 6. При этом сама квадратичная форма в новом базисе имеет вид
$$ A(x; x) = {{\Delta_0} \over {\Delta_1}} |\xi_1|^2 + {{\Delta_0} \over {\Delta_1}} |\xi_2|^2 + ... + {{ \Delta_{n-1}} \over {\Delta_n}} |\xi_n|^2, \qquad (2) $$
где $ \Delta_0 = 1. $ Отсюда, в частности, следует, что определители $ \Delta_1, \Delta_2, ..., \Delta_n $ вещественны; действительно, если эрмитова квадратичная форма приведена к каноническому виду (2), то коэффициенты $ \lambda_i $ равны $ A(e_i; e_i) $ и вещественны.

Упражнение. Доказать непосредственно, что если квадратичная форма $ A(x; x) $ эртимитова, то определители $ \Delta_1, \Delta_2, ..., \Delta_n $ вещественны.

Так же, как и в 6 параграфе, мы получаем, что для того чтобы эртимитова квадратичная форма $ A(x; x) $ была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы построенные по ней определители $ \Delta_1, \Delta_2, ..., \Delta_n $ были положительны.

Число отрицательных коэффициентов при квадратах в каноническом виде эртимитовой квадратичной формы равно числу перемен знака в последовательности определителей.
$$ 1, \Delta_1, \Delta_2, ..., \Delta_n. $$

Закон инерции.
Имеет место теорема, доказательство которой ни чем не отличается от доказательства соответствующей теоремы в параграфе 7.

Теорема 2. Если эртимитова квадратичная форма имеет в двух базисах канонический вид, то число положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов в обоих случаях одно и то же

Понятие ранга квадратичной формы, введено нами в параграфе 7 для случая вещественного пространства, переносится без изменений и на комплексный случай.