§9.2 Связь между матрицами и линейными преобразованиями.

Пусть $ e_1, e_2, ..., e_n $ - некоторый базис в n-мерном пространстве $R$ и $A$-линейное преобразование в $R$.

Для любых $n$ векторов $ g_1, g_2, ..., g_n$ существует одно и только одно линейное преобразование $A$, такое, что
$$ Ae_2=g_1, Ae_2=g_2, ..., Ae_n=g_n. $$

Докажем это. Покажем сначала, что преобразование $A$ однозначно определяется векторами $ Ae_1, Ae_2, ..., Ae_n. $ Действительно, пусть
$$x=\xi_1 e_2 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_n e_n \qquad (1)$$
- произвольный вектор из $R$. Тогда
$$ Ax= A(\xi_1e_1+\xi_2 e_2 + ... + \xi_n e_n) = \\
= \xi_1 Ae_1 + \xi_2 Ae_2 + ... + \xi_n Ae_n \qquad (2) $$
и, следовательно, $Ax$ однозначно определяется по $Ae_1, Ae_2, ..., Ae_n. $

Теперь покажем, что для всяких векторов $ g_1, g_2, ..., g_n $
существует линейное преобразование. А, такое, что $ Ae_i = g_i. $ Для этого поставим в соответствие векторам $e_i$ векторы $g_i$; произвольному же вектору $ x= \xi_1 e_1 + ... + \xi_n e_n $ поставим в соответствие вектор $ \xi_1 g_1 + ... + \xi_n g_n. $ Так как вектор $x$ выражается через $e_i$ однозначно, то ему ставится в соответствие вполне определенный вектор $Ax.$ Легко проверить, что так определенное преобразование $A$ линейно.

Обозначим координаты вектора $ g_k $ в базисе $ e_1, e_2, ...., e_n $ ,через $ a_{1k}, a_{2k}, ..., a_{nk}, $ т. е. положим
$$ g_k = Ae_k = \sum_{i=1}^n \alpha_{ik} e_i. \qquad (3) $$
Совокупность чисел $ \alpha_{ik} (i, k=1,2,...,n)$ образует матрицу
$$ A= ||\alpha_{ik}||, $$
которую мы назовем матрицей линейного преобразования $ A$ в базисе $e_1, e_2, ..., e_n. $

Итак, мы доказали, что при заданном базисе $e_1, e_2, ..., e_n $ каждому линейному преобразованию $A$ однозначно соответствует матрица $||\alpha_{ik}||,$ и, обратно, каждой матрице $||\alpha_{ik}||$ однозначно отвечает линейное преобразование, определяемое формулами (3), (1), (2).

Мы видим, таким образом, что линейное преобразование можно описывать с помощью матриц и матрицы являются тем аналитическим аппаратом, с помощью которого изучаются линейные преобразования в конечномерных пространствах.

Заметим, что при изменении базиса матрица, соответствующая данному линейному преобразованию, вообще говоря, изменится.

Примеры. 1. Пусть $R$ - трехмерное пространство, $A$- линейное преобразование, состоящее в проектировании каждого вектора на плоскость $XY$. Примем за базис единичные векторы $ e_1, e_2, e_3, $ направленные по осям координат. Тогда
$$ Ae_1=e_1, Ae_2=e_2, As_3=0, $$
т. е. матрица преобразования $ A$ в этом базисе имеет вид
$$ \begin{pmatrix}
1 0 0 \\
0 1 0 \\
0 0 0
\end{pmatrix} $$
Упражнение. Найти матрицу того же преобразования в базисе $ e_1', e_2', e_3', $ где
$$ e_1'= e_1, e_2' = e_2, e_3' = e_1+e_2+e_3. $$
2. Пусть $E$ - единичное преобразование и $ e_1, e_2, ..., e_n $ - базис в $R$. Тогда
$$ Ae_i=e_i (i=1, 2, ..., n), $$
т. е. матрица единичного преобразования в любом базисе имеет вид
$$ \begin{pmatrix}
1 0 ... 0 \\
0 1 ... 0 \\
........... \\
0 0 ... 1
\end{pmatrix} $$
Легко также видеть, что матрица нулевого преобразования в любом базисе состоит сплошь из нулей.

3. Пусть $R$ - пространство многочленов степени $ \leqslant -1. $. Преобразование $ A$ - дифференцирование, т. е.
$$ AP(t) = P' (t). $$
Выберем в $R$ в базис следующим образом:
$$ e_1=1, e_2t, e_3= {{t^2} \over {2!}}, ..., e_n = {{t^{n-1}} \over {(n-1)!}}. $$
Тогда
$$ Ae_1=1'=0, Ae_2=t'=1=e_1, Ae_3 = ( {{t^2} \over {2}})' = t= e_2, ... \\
...., Ae_n = ({{t^(n-1)} \over ({n-1)!}})' = {{t^{n-2}} \over {(n-2)!}} = e_{n-1}. $$

Таким образом, матрица преобразования $A$ в этом базисе имеет вид
$$ \begin{vmatrix}
0 1 0 ... 0 \\
0 0 1 ... 0 \\
............ \\
0 0 0 .... 1 \\
0 0 0 ... 0
\end{vmatrix}. $$
Пусть $A$ - линейное программирование $ e_1, e_2, ..., e_n $ - базис в $R$ и $||\alpha_{ik}|| $- матрица преобразования $A$ в этом базисе . Пусть
$$ x= \xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_n e_n, \qquad (4) \\
Ax= \eta_1 e_1 + \eta_2 e_2 + ... + \eta_n e_n. \qquad (4') $$
Найдем выражение координат $ \eta_1, \eta_2, ..., \eta_n $ вектора $Ax$ через координаты $ \xi_1, \xi_2, ..., \xi_n $ вектора $x$. Имеем:
$$ Ax= A(\xi_1e_1+ \xi_2e_2+ ... + \xi_n e_n) = \\
= \xi_1 (a_{11} e_1 + a_{21} e_2 + ... + a_{n1} e_n) + \\
+ \xi_2 (a_{12} e_1 + a_{22} e_2 + ... + a_{n2} e_n) + \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\
+ \xi_n (a_{1n} e_1 + a_{2n} e_2 + ... + a_{nn} e_n) = \\
= (a_11 \xi_1 + a_12 \xi_2 + ... + a_{1n} \xi_n) e_1 + \\
+ (a_{21} \xi_1 + A_{22} \xi_2 + ... + a_{2n} \xi_n) e_2 + \\
................................................. \\
+ (a_{n1} \xi_1 + a_{n2} \xi_2 + ... + a_{nn} \xi_n) e_n. $$
Следовательно, сравнивая с (4'), получаем:
$$ \eta_1 = a_{11} \xi_1 + a_{12} \xi_2 + ... + a_{1n} \xi_n, \\
\eta_2 = a_{21} \xi_1 + a_{22} \xi_2 + ... + a_{2n} \xi_n, \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\
\eta_n = a_{n1} \xi_1 + a_{n2} \xi_2 + ... + a_{nn} \xi_n, $$
или короче:
$$ \eta_i = \sum_{k=1}^n \alpha_{ik} \xi_k. \qquad \qquad (5) $$
Таким образом: если линейное программирование $A$ имеет в данном базисе $ e_1, e_2, ..., e_n $ матрицу $ ||\alpha_{ik}||, $ то базисные векторы преобразуются с помощью столбцов этой матрицы [формула (3)], а координаты произвольного вектора - с помощью ее строк {формула (5)].