§9.3 Сложение и умножение линейных преобразований.

Линейные преобразования можно складывать и умножать.

Определение 2. Произведением линейных преобразований $A$ и $B$ называется преобразование $C$, состоящее в последовательном выполнении сначала преобразования $B$, а затем преобразования $A.$

Другими словами: $C=AB$ означает, что для любого $ x Cx= A(Bx). $

Произведение линейных преобразований есть линейное программирование, т. е. удовлетворяет условиям 1° и 2° определения 1. Действительно,
$$ C(x_1 + x_2) = A[B(x_1+x_2)] = A(Bx_1 + Bx_2) = \\
= AB x_1 + ABx_2 = Cx_1 + Cx_2. $$
Первое равенство написано на основании определения произведения, второе на основании свойства 1° для $B$, третье в силу того же свойства для $A$ и, наконец, четвертое опять-таки в силу определения произведения.
Аналогично показывается, что $ C(\lambda x) = \lambda Cx. $
Если $E$ - единичное преобразование, а $A$ - произвольное, то легко проверить, что
$$ AE = EA = A. $$
Как обычно, определяем степени преобразования $A:$
$$ A^2 = A \cdot A, A^3 = A^2 \cdot A, ... $$ и т. д.
Как и для чисел, полагаем, по определению, $ A° = E. $
Очевидно, что
$$ A^{m+n} = A^m \cdot A^n. $$
Пример. $ R$ - пространство многочленов $ P(t) $ степени не выше $n-1$. Определим в нем преобразование $D$ формулой
$$ DP (t) = P' (t), $$
где $ P' (t) - $ производная многочлена $ P(t). $ Тогда для любого $ P(t) $
$$ D^2 P(t) = D(DP(t)) = (P' (t))' = P': (t). $$
Это равенство определяет преобразование $ D^2.$ Аналогично можно определить преобразование $ D^3 P(t) = P'':(t), ...$ Заметим, что в данном случае $ D^n=0.$ Действительно, так как векторами пространства являются многочлены степени $ \leqslant n-1, $ то
$$ D^n P(t) = P^{(n)} (t) =0. $$
Упражнение. Выберем в пространстве многочленов степени не выше, чем $ n-1$, базис, указанный в примере 3 п. 2 этого параграфа. Найти в этом базисе матрицы преобразований $ D, D^2, D^3, ... $

Мы знаем, что при заданном базисе $ e_1, e_2, ..., e_n $ каждому линейному преобразованию отвечает матрица. Пусть преобразованию $ A$ отвечает матрица $ || \alpha_{ik}||,$ преобразованию $B$-маьрица $ ||\beta_{ik}||;$ найдем матрицу $ ||c_{ik}||,$ отвечающую преобразованию $ C=AB.$ В силу определения матрицы преобразования $C$ мы имеем:
$$ Ce_k = \sum_i c_{ik} e_i. \qquad \qquad (6) $$
Далее,
$$ ABe_k = A(\sum_{i=1}^n b_{ik} e_f) = \sum_i b_{ik} Ae_i = \sum_{i, i} b_{ik} \alpha_{ij} e_i. \qquad (7) $$
Сравнивая коэффициенты при $ e_i $ в равенствах (6) и (7), получаем:
$$ c_{ik} = \sum_i \alpha_{ij} b_{jk}. \qquad \qquad (8) $$
Мы видим, что элемент $ c_{ik} $ матрицы $ C$ есть сумма произведений элементов i-й строки матрицы $A$ на соответствующие элементы k-го столбца матрицы $B$. Так определенная матрица называется произведением матрицы $A$ на матрицу $B$. Итак, если преобразованию $ A$ отвечает матрица $||\alpha_{ik} ||,$ а преобразованию $B$ - матрица $||b_{ik}||,$ то произведению этих преобразований отвечает матрица $||c_{ik}||,$ являющаяся произведением матриц $ ||\alpha_{ik}$ и $ ||\beta_{ik}||.$ Произведение матриц вычисляется по формуле (8).

Определение 3. Суммой линейных преобразований $A$ и $B$ называется такое преобразование $C$, которое каждому вектору $x$ ставит в соответствие вектор $Ax+Bx;$ иначе говоря, $C=A+B$ означает, что $ Cx=Ax+Bx$ для любого $x$.

Пусть преобразование $C$ есть сумма преобразований $A$ и $B$. Тогда, зная матрицы преобразований $A$ и $B$, легко найти матрицу $C$. Действительно, пусть $||\alpha_{ik}||,$ соответственно $||b_{ik}||,$ суть матрицы преобразования $A,$ соответственно $B$, т. е.
$$ Ae_k= \sum_i \alpha_{ik} e_i, Be_k = \sum_i b_{ik} e_i, $$
и $ ||c_{ik}|| $ - матрица преобразования $C$, т. е.
$$ Ce_k = \sum_{ik} e_i. $$
Так как $C = A+B, $ то
$$ Ce_k = Ae_k+Be_k = \sum_i (\alpha_{ik} + b_{ik}) e_i $$
и, следовательно,
$$ c_{ik} = \alpha_{ik} + b_{ik}. $$
Матрица $||\alpha_{ik} + b_{ik}||$ называется суммой матриц $||\alpha_{ik}||$ и $||b_{ik}||. $ Итак: матрица суммы линейных преобразований равна сумме матриц, соответствующих отдельным слагаемым.

Операции сложения и умножения линейных преобразований удовлетворяют обычным для сложения и умножения условиям, а именно:
$$ 1° \qquad A+B=B+A; \\
2° \qquad (A+B) + C=A+(B+C); \\
3° \qquad A(BC) = (AB) C; \\
4° (A+B)C = AC+BC,
C(A+B) = CA+CB. $$
Заметим, что умножение линейных преобразований, вообще говоря, некоммутативно. Действительно, возьмём линейное программирование $ A$ с матрицей $\begin{vmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{vmatrix} $ и линейное программирование $B$ с матрицей $ \begin{vmatrix}
1 & 0 \\
1 & 1
\end{vmatrix}. $ Так как
$$ \begin{vmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{vmatrix} \begin{vmatrix}
1 & 0 \\
1 & 1
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{vmatrix}, $$
а
$$ \begin{vmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{vmatrix} \begin{vmatrix}
1 & 0 \\
1 & 1
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1 & 1 \\
1 & 2
\end{vmatrix}, $$
то
$$ AB≠BA. $$

Мы могли бы без большого труда доказать равенства 1°-4° непосредственно. Но в это нет необходимости. В самом деле, между линейными преобразованиями и матрицами установлено взаимно однозначное соответствие, причем сумме соответствуется сумма, а произведению - произведение. Для матриц формулы 1°-4° доказываются в курсе алгебры; в силу установленного соответствия они автоматически переносятся на линейные преобразования.

Определим ещё произведение линейного программирования $A$ на число $\lambda$; под преобразованием $ \lambda A$ мы будем понимать преобразование, которое каждому вектору $x$ ставит в соответствие вектор $ \lambda (Ax).$ Ясно, что если линейному преобразованию $A$ отвечает матрица $||\alpha_{ik}||,$ то преобразованию $ \lambda A$ отвечает матрица $ ||\lambda \alpha_{ik}||. $

Упражнение. Проверить, что множество всех линейных преобразований пространства $R$ с введённым здесь операциями сложения и умножения на число образуют линейное пространство. Какова его размерность?

Умея находить сумму и произведение линейных преобразований, можно теперь найти любой многочлен от преобразования $A$. Пусть $P(t) = \alpha_0t^m+ \alpha_1t^{m-1} + ... + \alpha_m $ - произвольный многочлен. Тогда под $ P(A) $ мы понимаем линейное программирование, определенное формулой
$$ P(A) = \alpha_0 A^m + \alpha_1 A^{m-1} + ... + \alpha_m E. $$
Пример. Рассмотрим пространство $R$, элементами которого являются функции, определенные на интервале $(a, b)$ и имеющие производные всех порядков. В этом пространстве рассмотрим линейное программирование $D$, которое каждой функции ставит в соответствие ее производную, т. е.
$$ Df (t) = f' (t). $$
Пусть теперь нам задан многочлен $ P(t) = \alpha_0 t^m + \alpha_1 t^{m-1} + ... + \alpha_m. $ Тогда $P(D) $ есть линейное программирование, которое переводит функцию $ f(t) $ в
$$ P(D) f(t) = \alpha_0 f^m (t) + \alpha_1 f^{m-1} (t) + ... + \alpha_m f(t). $$
В соответствии с веденными выше определениями сложения и умножения матриц многочлен от матрицы $A$ мы задаём формулой
$$ P(A) = \alpha_0 A^m + \alpha_1 A^{m-1} + ... + \alpha_m E. $$
Пример. Предположим, что $A$- так называемая диагональная матрица, т. е. матрица, у которой на всех местах, кроме главной диагонали, стоят нули. Найдем $P(A). $ Мы имеем
$$ A = \begin{pmatrix}
\lambda_1 0 0 ... 0 \\
0 \lambda_2 0 ... 0 \\
. . . . . . . . . . . \\
0 0 0 .... \lambda_n
\end{pmatrix}; $$
тогда
$$ A^2= \begin{pmatrix}
\lambda_1^2 0 ... 0 \\
0 \lambda_2^2 ... 0 \\
.............. \\
0 0 .... \lambda_n^2
\end{pmatrix}, ...., A^m = \begin{pmatrix}
\lambda_1^m 0 ... 0 \\
0 \lambda_2^m .... 0 \\
. . . . . . . . . .. . . . \\
0 0 ... \lambda_n^m
\end{pmatrix}. $$
Отсюда следует, что если $ P(t) = \alpha_0 t^m + ... + \alpha_{m-1} + \alpha_m, $ то
$$ P(A) = \begin{pmatrix}
P (\lambda_1) 0 .....0 \\
0 P(\lambda_2) ... 0 \\
. . . . . . . . . . . . . \\
0 0 . . . . P(\lambda_n)
\end{pmatrix}. $$
Упражнение. Пусть матрица $A$ имеет вид
$$ \begin{vmatrix}
&0 &1 & 0 & 0 & ... & 0 \\
&0 &0 & 1 & 0 & ... & 0 \\
&0 &0 & 0 & 1 & ... & 0 \\
& \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
&0 &0 & 0 & 0 & ... & 1 \\
&0 &0 & 0 & 0 & ... & 0
\end{vmatrix}. $$
Найти $P(A).$

Можно определить не только многочлен от матрицы, но и вообще функцию от матрицы, например, $ e^A, \sin A $ и т. д.
Совокупность матриц n-го порядка образует, как мы уже упоминали линейное пространство, если определить сумму и произведение матриц на число, как обычно. Это пространство имеет $n^2$ измерений (каждая матрица задаётся системой $n^2$ чисел); поэтому всякие $n^2+1$ матриц линейно зависимы. Рассмотрим последовательность степеней некоторой матрицы $ A$:
$$ E, A, A^2, ..., a^{n2}. $$
Так как их $ n^ +1,$ то они линейно зависимы, т. е. существуют числа $ a_0, a_1, a_2, ..., a_{n^2}$ такие, что
$$ a_0 E+ a_1A + a_2A^2 + ... + a_{n^2} A^{n^2} = 0. $$
Мы получили следующий интересный вывод: для каждой матрицы порядка $n$ существует многочлен степени $n^2$ такой, что $ P(A) =0.$ Указанный здесь очень простой вывод существования многочлена $P(t),$ для которого $ P(A)=0,$ обладает двумя недостатками. Во-первых, не указан способ вычисления такого многочлена и, во-вторых, степень такого многочлена завышена. В действительности мы несколько позже покажем, что для каждой матрицы $A$ существует многочлен степени $n,$ очень просто связанный с матрицей и обращающийся в нуль при подстановке в него этой матрицы.