§9.4 Обратное преобразование. Ядро и образ преобразования

Определение 4. Преобразование $B$ называется обратным к $A,$ если $AB = BA = E,$ где $E$ - единичное преобразование.

В силу определения $E$ это означает, что для любого $x B(Ax) = x, $ т. е. если $A$ переводит $x$ в вектор $Ax$, то обратное преобразование $B$ переводит вектор $Ax$ обратно в вектор $x$. Преобразование, обратное преобразованию $A$, обозначается $A^{-1}.$

Не для всякого преобразования существует обратное. Например, преобразование, состоящее в проектировании трехмерного пространства на плоскость $XY$ (см. пример 1п. 1), очевидно, не имеет обратного.

С понятием обратного преобразования связано понятие обратной матрицы. Как известно, для каждой матрицы $A$, удовлетворяющей условию $Det(A)≠0,$ можно определить матрицу $A^{-1},$ удовлетворяющую условию
$$ AA^{-1} = A^{-1} A = E. \qquad \qquad (9) $$
Эта матрица $A^{-1} $ называется обратной к матрице $A$. Ее можно найти, решая систему линейных уравнений, эквивалентную матричному равенству (9). Элементы ее k-го столбца окажутся равными минорам k-й строки матрицы $A$, деленным на ее определитель. Легко проверить, что так составленная матрица $A^{-1}$ удовлетворяет условиям (9).

Так как при заданном базисе между матрицами и линейными преобразованиями имеется взаимно однозначное соответствие, сохраняющее операцию умножения, то, для того чтобы преобразование $A$ имело обратное, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в каком-нибудь базисе имела бы определитель, отличный от нуля, т. е. имела бы ранг $n$. Преобразование, имеющее обратное, называют невырожденным.

С произвольным линейным преобразованием $A$ связаны два важных подпространства - ядро и образ этого преобразования.

Определение 5. Совокупность $M$ векторов вида $Ax,$ где $x$ пробегает все $R$, называется образом пространства $R$ при преобразовании $A$.

Другими словами, образ пространства - это множество тех векторов $y$, для которых уравнение $Ax = y$ имеет хотя бы одно решение. Ясно, что у обратимого преобразования образ есть все пространство.

Покажем, что $M$ есть подпространство пространства $R.$ Действительно, пусть $ y_1 \in M \text{и} y_2 \in M. $

Это значит, что существуют $x_1$ и $x_2$ такие, что $y_1 = Ax_1$ и $y_2 = Ax_2.$ Но тогда $ y_1+y_2 = Ax_1 + Ax_2 = A(x_1+x_2) $ и, значит, $y_1 + y_2 \in M. $ Аналогично, если $y=Ax, $ то $ \lambda y = \lambda Ax = A \lambda x, $ т. е. $ \lambda y \in M. $

Следовательно, $M$ является подпространством. Размерность этого подпространствп называется рангом преобразования $A$.

Пример. Рассмотрим преобразование $A$, состоящее в проектировании трехмерного пространства $R$ в плоскость $XY$ (пример 1, п. 2). Очевидно, что образ этого преобразования есть плоскость $XY.$

Упражнение. Написать матрицу произвольного преобразования $A$ в базисе, первые $k$ векторов которого являются базисом в образе пространства при этом преобразовании.

Другим важным подпространством является ядро преобразования $A$, состоящее из всех векторов, переходящих при этом преобразовании в нуль.

Определение совокупность $N$ векторов $x$ таких, что $Ax=0,$ называется ядром преобразования $A$.

Ясно, что ядро также есть подпространство пространства $R.$ Действительно, если $Ax_1 = 0$ и $ Ax_2 = 0, $ то $ A(x_1 + x_2) = Ax_1 + Ax_2 = 0.$ Точно так же, если $Ax= 0, $ то $ A \lambda x= \lambda A x = 0, $ т. е. $ N$ есть подпространство.

Очевидно, что если $A$- невырожденное преобразование, то его ядро состоит из нуля (т. е. система однородных уравнений с отличным от нуля (т. е. система однородных уравнений с отличным от нуля определителем имеет только нулевое решение).

Упражнение. Написать матрицу линейного преобразования $A$ в базисе, первые $k$ векторов которого есть базис ядра.

Пример. Пусть $R$ - пространство многочленов степени $ \leqslant n - 1$ и преобразование $A$- дифференцирование, т. е.
$$ AP(t) = P'(t). $$
Ядро этого преобразования состоит из многочленов $P(t),$ для которых $P' (t) = 0,$ т. е. из констант. Таким образом, ядро $N$ здесь одномерно.

Образ $A$ состоит из многочленов вида $ P'(t),$ где $P(t) $ имеет степень $ \leqslant n -1,$ т. е. $M$ состоит из всех многочленов степени $ \leqslant n-2.$ Размерность $M$ равна $ n-1$.

Рассмотрим теперь преобразование $ A^2,$ которое задаётся формулой
$$ A^2 P(t) = P'' (t). $$
Для преобразования $A^2$ ядро $N$ состоит из всех многочленов не выше первой степени, а образ из всех многочленов степени $ \leqslant n -3$ (проверьте!), т. е. $ N$ двумерно, а $ M$ имеет разномерность $ n-2$.

Аналогично у преобразования $A^3$ ядро трехмерно, а образ имеет размерность $ n-3$ и т. д.

Наконец преобразование $A^n$ в этом случае есть нулевое преобразование. Его ядро $ N=R,$ а образ состоит только из нуля.

На этом примере видно, что при возведении преобразования в степень его ядро расширяется, а образ, наоборот, уменьшается. При этом размерность ядра как бы характеризует степень вырожденности преобразования.
Чем больше ядро, тем больше образ и тем "более вырожденным" является преобразование. Крайними случаями является нулевое преобразование, ядром которого является все $R$, а образ равен нулю, и, с другой стороны, обратимое преобразование, образом которого является все пространство, а ядро равно нулю.

При этом сумма размерностей ядра и образа всегда остаётся равной размерности всего пространства.

Имеет место общая теорема.
Теорема. Пусть $A$ - произвольное линейное преобразование n-мерного пространства $R$. Сумма размерностей ядра и образа преобразования $A$ равна размерности всего пространства.

Доказательство. Предположим, что ядро $N$ преобразования $A$ имеет размерность $k.$ Выберем в $N$ базис из векторов $ e_1, ...., e_k$ и дополним его до базиса $e_1, ..., e_k, e_{k+1}, ...., e_n$ во всем пространстве $R.$

Рассмотрим векторы $Ae_{k+1}, ...., Ae_n.$ Множество линейных комбинаций этих векторов образует подпространство, которое совпадает с $M$- образом преобразования $A.$

Действительно, пусть $y$- произвольный вектор из $M$. Тогда, по определению, существует вектор $x$ такой, что $y=Ax.$ Так как $ e_1, ..., e_n $ - базис в $R$, то $x= \gamma_1 e_1+...+ \gamma_n e_n. $ Но так как $ Ae_1= ... = Ae_k = 0(e_1, ..., e_k-$ базис в ядре), то $y=Ax= \gamma_{k+1} Ae_{k+1} + ... + \gamma_n Ae_n. $

Покажем, что $n-k$ векторов $ Ae_{k+1}, ...., Ae_n $ линейно независимы.

Действительно, пусть существуют числа $ \alpha_j,$ не равные одновременно нулю и такие, что $ \alpha_1 Ae_{k+1} + ...+ \alpha_{n-k} Ae_n = 0. $ Рассмотрим вектор $ x= \alpha_1 e_{k+1} + ... + \alpha_{n-k} e_n. $ Тогда $ Ax = A(\alpha_1 e_{k+1} + ... + \alpha_{n-k} e_n) = \alpha_1 Ae_{k+1} + ...+ \alpha_{n-k} Ae_n = 0,$ т. е. $x$ принадлежит ядру. Мы пришли к противоречию, поскольку, с одной стороны, $ x$ как элемент ядра представим как как линейная комбинация первых $k$ базисных векторов, а, с другой стороны, $ x = \alpha_1 e_{k+1} + ... + \alpha_{n-k} e_n $ был задан как линейная комбинация $ e_{k+1}, ...., e_n. $ Это противоречит единственности представления вектора $x$ через векторы базиса. Следовательно, векторы $Ae_{k+1}, ..., Ae_n$ линейно независимы.

Мы показали, что существует $n-k$ линейно независимых векторов таких, что любой вектор образа есть их линейная комбинация, т. е. размерность образа равна $n-k,$ что и требовалось доказать.