§9.6 Линейное преобразование пространства $R_1$ в пространство $R_2$.

Определяя линейное программирование $A,$ мы фактически нигде не пользовались тем, что векторы $x$ и $Ax$ принадлежат одному и тому же пространству.

Все сказанное в этом параграфе без каких-либо существенных изменений переносится на такие преобразования. Остановимся на операциях сложения и умножения линейных преобразований.

Пусть $A$ и $B$ - линейные преобразования пространства $R_1$ в пространство $R_2$. Тогда, как и в п. 3, можно определить их сумму $A+B:C=A+B$ означает, что $Cx=Ax+Bx$ для любого $ x \in R_1.$

Произведение $AB$ в этом случае смысла уже не имеет. Однако мы можем определить произведение $AB$ в том случае, когда $B$ - линейное преобразование пространства $R_1$ в $R_2$, а $A$ - линейное преобразование пространства $ R_2$ в $R_3.$ В этом случае $AB$ есть, по определению, линейное преобразование пространства $R_1$ в $R_3$, состоящее в последовательном выполнении сначала преобразования $B,$ отображающего $R_1$ в $R_2$, а затем в преобразования $A,$ отображающего $R_2$ в $R_3$.

Введение операции сложения и умножения линейных преобразований удовлетворяют ассоциативному и дистрибутивному законам.

Задача. Установить, как изменяется матрица линейного программирования $R_1$ в $R_2$ при замене базисов в $R_1$ и $R_2$.