§10.1 Инвариантные подпространства

Пусть $R_1$ - подпространство пространства $R$ и $A$ - линейное преобразование в $R$. Вообще говоря, для произвольного $x \in R_1, Ax \overline{\in} R_2 *).$ Например, если $R$ - евклидова плоскость, $ R_1$ - произвольная прямая и $A$ - поворот на угол $ \phi = {{π} \over {6}}, $ то очевидно, что для любого $x≠0$ и принадлежащего $ R_1, Ax \overline{\in} R_1.$ Однако может случиться, что некоторые подпространствп переходят сами в себя при линейном преобразовании $A.$ Введем следующие определения.

Определение 1. Пусть $A$ - линейное программирование пространства $R$. Линейное подпространство $R_1$ называется инвариантным относительно $A,$ если для каждого вектора $x$ из $R_1$
вектора $x$ из $R_1$ вектор $Ax$ также принадлежит $R_1$.

При изучении линейного преобразования $A$ в инвариантном подпространстве $R_1$ можно, таким образом, рассматривать это преобразование только в $R_1.$

Тривиальными инвариантными подпространствами являются подпространство, состоящее лишь из нуля, и все пространство.

Примеры. 1. Пусть $R$ - трехмерное пространство и $A$ - поворот вокруг некоторой оси, проходящей через нуль. Инвариантными подпространствами при этом являются:
а) ост вращения (одномерное инвариантное подпространство),
б) плоскость, проходящая через начало координат и ортогональная к этой оси (двумерное инвариантное пространство).

2. $R$ - плоскость. Преобразование $A$ заключается в растяжении плоскости в $ \lambda_1$ раз вдоль оси $X$ и в $\lambda_2$ раз вдоль оси $Y$. Иначе говоря, если вектор $ z$ равен $ \xi_1 e_1 + \xi_2 e_2,$ то $ A z= \lambda_1 \xi_1 e_1 + \lambda_2 \xi_2 e_2, $ где $e_1, e_2$ - единичные векторы на осях. Координатные оси $X$ и $Y$ являются в этом случае одномерными инвариантными подпространствами. Если $ \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda, $ то $ A$ является преобразованием подобия с коэффициентом подобия $ \lambda.$ В этом случае каждая прямая, проходящая через начало координат, является инвариантным подпространством.

Упражнение.Показать, что если $ \lambda_1 ≠ \lambda_2,$ то в примере 2 нет никаких других одномерных инвариантных подпространств, кроме указанных выше.

3. $R$ - совокупность многочленов ступени не выше $n-1$. Линейное преобразование $A$ - дифференцирование, т. е.
$$ AP (t) = P' (t). $$
Совокупность многочленов, степень которых меньше или равна $k,$ где $ k \leqslant n -1,$ образует инвариантное подпространство. Действительно, дифференцируя многочлен степени $ \leqslant k, $ мы получим многочлен, степень которого снова не превосходит $k.$

Упражнение. Доказать, что в примере 3 никаких инвариантных подпространств, кроме указанных, нет.

4. $R$ - произвольное n-мерное пространство. Линейное преобразование $A$ задаётся в некотором базисе $ e_1, e_2, ..., e_n $ матрицей вида
$$ \begin{pmatrix}
a_{11} ... a_{1k} a_{1, k+1} ... a_{1n} \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\
a_{k1} ... a_{kk} a_{k, k+1} ... a_{kn} \\
0 ... 0 a_{k+1, k+1} ... a_{k+1, n} \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\
0 ... 0 a_{n, k+1} ... a_{nn}
\end{pmatrix} $$
В этом случае подпространство $R_1,$ порожденное векторами $e_1, e_2, ..., e_k,$ инвариантно. Доказательство этого мы предоставляем читателю. Если, кроме того,
$$ \alpha_{i, k+1} = ... = \alpha_{in} = 0(1 \leqslant i \leqslant k),$$
то подпространство, порожденное векторами $e_{k+1}, e_{k+2}, ..., e_n, $ также будет инвариантным.
5. $R$ - произвольное n-мерное пространство, $A$ - произвольное линейное преобразование в этом пространстве.

Тогда образ $M$ и ядро $N$ преобразования $A$ являются инвариантными подпространствами. Действительно, пусть $ y \in M.$ Тогда $ Ay \in M$ в силу определения $M.$

Точно так же, если $x \in N,$ то $Ax = 0 \in N.$
Этот простой факт будет использован в дальнейшем при приведении произвольного преобразования к простейшему виду.

Пусть дано пространство $R$ и линейное преобразование $ A$ в этом пространстве. Предположим, что $ R$ разложили в прямую сумму двух инвариантных подпространств $R_1$ размерности $ k$ и $R_2$ размерности $n-k$. Тогда в базисе $ e_1, ..., e_n,$ первые $ k$ векторов которого лежат в $R_1$, а последние $n-k-$ в $R_2,$ матрица преобразования $ A$ состоит из двух клеток размерностей $ k$ и $n-k$, стоящих на диагонали, а на остальных местах стоят нули, т. е.
$$ A = \begin{pmatrix}
a_{11} ... a_{1k} 0 \qquad ... 0 \\
a_{21} ... a_{2k} 0 \qquad ... 0 \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . \\
a_{k1} ... a_{kk} 0 ... 0 \\
0 ... 0 a_{k+1, k+1} ... a_{k+1, n} \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\
0 ... 0 a_{n, k+1} ... a_{n,n}
\end{pmatrix}. $$