§10.2 Собственные векторы и собственные значения

Особую роль в дальнейшем будут играть одномерные инвариантные подпространства.

Пусть $R_1$ - одномерное подпространство, порожденное вектором $x≠0$ (т. е. совокупность векторов вида $ \alpha x)$. Ясно, что для того, чтобы $R_1$ было инвариантно, необходимо и достаточно, чтобы вектор $Ax$ лежал в $R_1$, т. е. был кратен вектору $x;$
$$ Ax = \lambda x.$$
Определение 2.Вектор $x≠0,$ удовлетворяющий соотношению $Ax= \lambda x,$ называется собственным вектором, а соответствующее число $\lambda$ - собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования $A.$

Итак, если $x$ - собственный вектор, то векторы $ \alpha x$ образуют одномерное инвариантное подпространство.

Обратно, все отличные от нуля векторы одномерного инвариантного подпространствп являются собственными.
Теорема 1. В комплексном пространстве *) $ R$ всякое линейное программирование $A$ имеет хотя бы один собственный вектор.

Доказательство. Выберем в $R$ какой-либо базис $e_1, e_2, ..., e_n.$ Линейному преобразованию $A$ в этом базисе соответствует некоторая матрица $ || \alpha_{ik} ||.$
Пусть
$$ x = \xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_n e_n $$
- произвольный вектор из $R.$ Тогда координаты $ \eta_1, \eta_2, ..., \eta_n$ вектора $Ax$ выражаются следующими формулами (см. а. 2. а.9):
$$ \eta_1 = a_{11} \xi_1 + a_{12} \xi_2 + ... + a_{1n} \xi_n, \\
\eta_2 = a_{21} \xi_1 + a_{22} \xi_2 + ... + a_{2n} \xi_n, \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\
\eta_n = a_{n1} \xi_1 + a_{n2} \xi_2 + ... + a_{nn} \xi_n. $$
Условие того, что вектор собственный, т. е. равенство
$$ Ax= \lambda x, $$
записывается в следующем виде:
$$ a_{11} \xi_1 + a_{12} \xi_2 + ... + a_{1n} \xi_n = \lambda \xi_1, \\
a_{21} \xi_1 + a_{22} \xi_2 + ... + a_{2n} \xi_n = \lambda \xi_2, \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\
a_{n1} \xi_1 + a_{n2} \xi_2 + ... + a_{nn} \xi_n = \lambda \xi_n $$
или
$$
\left.\begin{aligned}
(a_{11} - \lambda) \xi_1 + a_{12} \xi_2 + ... + a_{1n} \xi_n = 0, \\
a_{21} \xi_1 + (a_{22} - \lambda) \xi_2 + ... + a_{2n} \xi_n = 0, \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\
a_{n1} \xi_1 + a_{n2} \xi_2 + ... + (a_{nn} - \lambda) \xi_n = 0.
\end{aligned}\right\rbrace \qquad (1)
$$

Для доказательства теоремы нужно доказать таким образом, что существуют число $ \lambda$ и числа $ \xi_1, \xi_2, ..., \xi_n, $ не все равные нулю, удовлетворяющие системе (1).

Условием существования ненулевого решения однородной системы (1) является равенство нулю ее определителя
$$ \begin{vmatrix}
a_{11} - \lambda & a_{12} ... a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} - \lambda ... a_{2n} \\
. . . . . & . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\
a_{n1} & a_{n2} ... a_{nn} - \lambda
\end{vmatrix} = 0. \qquad (2) $$

Мы получили уравнение степени $n$ относительно $\lambda$. Это уравнение имеет бы один (вообще говоря, комплексный) корень $ \lambda_0.$

Подставив в систему (1) вместо $ \lambda$ корень $ \lbda_0,$ мы получим однородную систему линейных уравнений, определитель которой равен нулю, и имеющую, следовательно, ненулевое решение $ \xi_1^0 , \xi_2^0 , ..., \xi_n^0.$ Тогда вектор
$$ x^0 = \xi_1^0 e_1 + \xi_2^0 e_2 + ... + \xi_n^0 e_n $$
будет собственным вектором, а $ \lambda_0$ - собственным значением, так как
$$ Ax^0 = \lambda_0 x^0. $$
Теорема доказана.

Замечание. Так как доказательство теоремы остаётся в силе, если преобразование $ A$ рассматривать не во всем пространстве, а в любом его инвариантном подпространстве, то в любом инвариантном подпространстве существует хотя бы один собственный вектор преобразования $A.$

Многочлен, стоящий в левой части уравнения (2), называется характеристическим многочленом матрицы преобразования $A,$ а само уравнение (2) характеристическим или вековым уравнением этой матрицы. В процессе доказательства теоремы мы показали, что корни характеристического многочлена суть собственные значения преобразования $A$ и, обратно, собственные значения преобразования $ A$ суть корни характеристического многочлена.

Так как собственные значения преобразования определены независимы от выбора базиса, то, следовательно, и корни характеристического многочлена также не зависят от выбора базиса. Мы покажем далее несколько больше *), а именно, что сам характеристический многочлен не зависит от выбора, и поэтому мы в дальнейшем будем называть его характеристическим многочленом преобразования $A$ (а не характеристическим многочленом матрицы преобразования $A$).

3. Среди линейных преобразований в известном смысле простейшими являются те, которые имеют n линейно независимых собственных векторов.

Пусть $A$ - такое преобразование, $ a e_1, e_2, ..., e_n$ - его линейно независимые собственные векторы, т. е.
$$ Ae_i = \lambda_i e_i (i=1, 2, ..., n).$$
Примем $ e_1, e_2, ..., e_n $ за базис в $R$. Равенства
$$ Ae_1 = \lambda_1 e_2, \\
Ae_2 = \lambda_2 e_2, \\
. . . . . . . . . . . . \\
Ae_n = \lambda_n e_n $$
означают, что матрица преобразования $A$ в этом базисе имеет вид
$$ \begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 ... 0 \\
0 & \lambda_2 ... 0 \\
................... \\
0 & 0 ..... \lambda_n
\end{pmatrix} $$
(является диагональной матрицей). Таким образом, имеет место
Теорема 2. Если линейное преобразование $A$ имеет n линейно независимых собственных векторов, то, выбрав их за базис, мы приведем матрицу преобразования $ A$ к диагональной форме. Обратно, если в некотором базисе матрица преобразования диагональна, то все векторы этого базиса являются собственными векторами.

Замечание. Отметим один важный случай, когда линейное преобразование заведомо имеет n линейно независимых собственных векторов. Предварительно заметим следующее:
Если $e_1, e_2, ..., e_k $ - собственные векторы преобразования $ A$ и соответствующие им собственные значения $ \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_k $ попарно различны, то $ e_1, e_2, ..., e_k $ линейно независимы.

Для $ k=1$ утверждение очевидно. Пусть наше утверждение верно для $k-1$ векторов; докажем его для $ k$ векторов. Предположим противное, т. е. предположим, что
$$ \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + ... + \alpha_k e_k = 0, \qquad \qquad (3) $$
причем хотя бы один из коэффициентов $ \alpha_i,$ например $ \alpha_1$, отличен от нуля.

Применим к обеим частям равенства (3) преобразование $ A.$ Получим
$$ A(\alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + ... + \alpha_k e_k = 0, $$
т. е.
$$ \alpha_1 \lambda_1 e_1 + \alpha_2 \lambda_2 e_2 + ... + \alpha_k \lambda_k e_k = 0. $$
Вычитая из последнего равенства равенство (3), умноженное на $ \lambda_k,$ мы получим выражение
$$ \alpha_1 (\lambda_1 - \lambda_k) e_1 + \alpha_2 (\lambda_2 - \lambda_k) e_2 + ... \\
... + \alpha_{k-1} (\lambda_{k-1} - \lambda_k) e_{k-1} = 0, $$
где первый коэффициент по-прежнему отличен от нуля (так как по условию $ \lambda_i = \lambda_k $ при $ i ≠ k).$ Мы пришли к противоречию, так как по индуктивному предположению векторы $ e_1, e_2, ..., e_{k-1} $ линейно независимы. Отсюда непосредственно следует, что:

Если характеристический многочлен преобразования $A$ имеет n различных корней, то матрица преобразования $A$ может быть приведена к диагональной форме.

Действительно, каждому корню $ \lambda_k$ характеристического уравнения отвечает хотя бы один собственный вектор. Так как соответствующие этим векторам собственные значения (корни характеристического уравнения) все различны, то, согласно дрказанному выше, мы имеем $n$ линейно независимых собственных векторов $ e_1, e_2, ..., e_n. $
Если векторы $e_1, e_2, ..., e_n $ принять за базис, то матрица преобразования $A$ будет диагональной.

Если характеристический многочлен имеет кратные корни, то число линейно-нещависимых собственных векторов может быть меньше, чем $n.$ Например, преобразование $A$ в пространстве многочленов степени не выше $ n-1,$ ставящее в соответствие каждому многочлену его производную, имеет лишь одно собственное значение $ \lambda = 0 $ и один ( с точностью до пропорциональности) собственный вектор $ P(t) = const.$ В самом деле, для любого многочлена $ P(t) $ степени $ k > 0$ многочлен $ P' (t) $ имеет степень $ k-1$, и потому равенство $ P' (t) = \lambda P(t) $ возможно лишь, если $ \lambda=0 $ и $ P(t) = const.$ Следовательно, для этого преобразования не существует базиса, в котором ему соответствовала бы диагональная матрица

В главе 3 будет доказано, что если $ \lambda$ есть m-кратный корень характеристического уравнения, то ему отвечает не более чем $m$ линейно независимых собственных векторов.

Ниже в (параграфе 12 ) мы укажем некоторые классы линейных преобразований, приводимых к диагональной форме. Вопросу о том, к какому простейшему виду может быть приведено произвольное линейное преобразование, будет посвящена глава 3.