§11. 1 Связь между линейными преобразованиями и билинейными формами в евклидовом пространстве.

Мы рассматривали ранее в аффинном пространстве отдельно линейные преобразования и отдельно Билинейные формы. В случае евклидова пространства между билинейными формами и линейными преобразованиями существует тесная связь *)

Всякому линейному преобразованию $A$ отвечает в евклидовом пространстве билинейная форма $A(x; y), $ задаваемая формулой
$$ A(x; y) = (Ax, y). $$

Действительно, функция $A(x; y) = (Ax, y) $ удовлетворяет условиям, определяющим билинейную форму. Имеем:
$$ 1° (A(x_1 + x_2), y) = (Ax_1 + Ax_2, y) = (Ax_1, y) + (Ax_2, y), \\ (A \lambda x, y) = (\lambda Ax, y) = \lambda (Ax, y). $$
$$ 2° (x, A(y_1 + y_2)) = (x, Ay_2 + Ay_2) = (x, Ay_1) + (x, Ay_2), \\ (x, A \mu y) = (x, \mu Ay) = \overline{\mu} (x, Ay). $$
Покажем, что преобразование $A$ определяется соответствующей билинейной формой $A(x; y) $ однозначно.

*) Так как в данном базисе линейные преобразования, так и билинейные формы задаются матрицами, то можно было бы попытаться в аффинном пространстве поставить друг другу в соответствие линейное преобразование и билинейную форму, задаваемые одной и той же матрицей. Однако это соответствие было бы случайным. Действительно, если в одном базисе матрицы билинейной формы и линейного преобразования совпадают, то в другом базисе они будут уже, вообще говоря, различны, так как при переходе к другому базису матрица $A$ билинейной формы переходит в $C' AC (C'$ - матрица, транспонированная к матрице $C$) (см. параграф 4), а матрица линейного преобразования - в $ C^{-1} AC $ (см. параграф 9).

Внимательный читатель может заметить, что устанавливаемое ниже соответствие между билинейными формами и линейными преобразованиями в евклидовом пространстве состоит в том, что сопоставляются друг другу линейные преобразования и билинейные формы, матрицы которых в нормированном ортогональном базисе получаются одна из другой транспортированием; это соответствие, как следует из дальнейшего, уже не зависит от выбора базиса.
Пусть
$$ A(x; y) = (Ax, y) $$
и
$$ A(x; y) = (Bx, y). $$
Тогда
$$ (Ax, y) = (Bx, y), $$
т. е.
$$ (Ax - Bx, y) = 0 $$
для любого вектора $y;$ но это значит, что $Ax - Bx = 0.$ Таким образом, $Ax= Bx$ для бого $x,$ т. е. $ A=B.$ Однозначность доказана.

Имеет место и обратное:
Пусть $R$ - комплексное евклидово пространство и пусть $A (x; y) $ - билинейная форма в нем. Выберем в $R$ какой-либо ортогональный нормированный базис $e_1, e_2, ..., e_n. $
Если
$$ x= \xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_n e_n \text{и} y= \eta_1 e_1 + \eta_2 e_2 + ... + \eta_n e_n, $$
то $ A(x; y) $ можно записать в виде
$$ A(x; y) = a_{11} \xi_1 \overline{\eta_1} + a_{12} \xi_1 \overline{\eta_2} + ... + a_{1n} \xi_1 \oberline{\eta_n} + \\
+ a_{21} \xi_2 \overline{\eta_1} + a_{22} \xi_2 \overline{\eta_2} + ... + a_{2n} \xi_2 \overline{\eta_n} + \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\
a_{n1} \xi_n \overline{\eta_1} + a_{n2} \xi_n \overline{\eta_2} + ... + a_{nn} \xi_n \oberline{\eta_n}. \qquad (1) $$

Постараемся представить это выражение в виде некоторого скалярного произведения. Для этого перепишем его следующим образом:
$$ A(x; y) = (a_{11} \xi_1 + a_{21} \xi_2 + ... + a_{n1} \xi_n) \overline{\eta_1} + \\
+ (a_{12} \xi_1 + a_{22} \xi_2 + ... + a_{n2} \xi_n) \overline{\eta_2} + \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . \\
+ (a_{1n} \xi_1 + a_{2n} \xi_2 + ... + a_{nn} \xi_n) \overline{\eta_n}. $$
Введем в рассмотрение вектор $z$ с координатами
$$ \zeta_1 = a_{11} \xi_1 + a_{21} \xi_2 + ... + a_{n1} \xi_n, \\
\zeta_2 = a_{12} \xi_1 + a_{22} \xi_2 + ... + a_{n2} \xi_n, \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\
\zeta_n = a_{1n} \xi_1 + a_{2n} \xi_2 + ... + a_{nn} \xi_n. $$
Вектор $z$ получается из вектора $x$ линейным преобразованием с матрицей, транспонированной к матрице $||\alpha_{ik}||$ ьилинейной формы $A(x; y).$ Это преобразование мы обозначим буквой $A,$ т. е. положим $z= Ax.$ Мы получаем, следовательно, что
$$ A(x; y) = \zeta_1 \overline{\eta_1} + \zeta_2 \oberline{\eta_2} + ... + \zeta_n \overline{\eta_n} = (z, y) = (Ax, y). $$
Итак, всякой билинейной форме $A(x; y) $ в евклидовом пространстве отвечает такое линейное преобразование $A,$ что
$$ A(x; y) = (Ax, y). $$
Таким образом, мы доказали теорему.

Теорема 1. Формула
$$ A(x; y) = (Ax, y) \qquad \qquad (2) $$
устанавливает в евклидовом пространстве взаимно однозначное соответствие между билинейными формами и линейными преобразованиями.

Из однозначности соответствия, устанавливаемого формулой (2), следует, что оно не зависит от выбора базиса.

Связь между билинейными формами и линейными преобразованиями можно установить и другим способом. А именно, каждую билинейную форму можно представить также в виде
$$A(x; y) = (x, A*y). $$
Для этого в формуле (1)
$$ A(x; y) = a_{11} \xi_1 \overline{\eta_1} + a_{12} \xi_1 \overline{\eta_2} + ... + a_{1n} \xi_1 \overline{\eta_n} + \\
+ a_{21} \xi_2 \overline{\eta_1} + a_{22} \xi_2 \overline{\eta_2} + ... + a_{2n} \xi_2 \overline{\eta_n} + \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\
+ a_{n1} \xi_n \overline{\eta_1} + a_{n2} \xi_n \overline{\eta_2} + ... + a_{nn} \xi_n \overline{\eta_n} $$
мы будем выносить за скобки координаты $ \xi_1, \xi_2, ..., \xi_n $ вектора $x.$ Повторяя снова прежние рассуждения, мы получаем:
$$ A(x; y) = \xi_1 (a_{11} \overline{\eta_1} + a_{12} \overline{\eta_2} + ... + a_{1n} \overline{\eta_n} + \\
\xi_2 (a_{21} \overline{\eta_1} + a_{22} \overline{\eta_2} + ... + a_{2n} \overline{\eta_n} + \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\
\xi_n (a_{n1} \overline{\eta_1} + a_{n2} \overline{\eta_2} + ... + a_{nn} \overline{\eta_n} = \\
=\xi_1 \overline{(a_{11} \overline{\eta_1} + a_{12} \overline{\eta_2} + ... + a_{1n} \overline{\eta_n}} + \\
+ \xi_2 \overline{(a_{21} \overline{\eta_1} + a_{22} \overline{\eta_2} + ... + a_{2n} \overline{\eta_n}} + \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\
+ \xi_n \overline{ (a_{n1} \overline{\eta_1} + a_{n2} \overline{\eta_2} + ... + a_{nn} \overline{\eta_n}} = (x, A*y). $$

При этом матрица преобразования $A*$ получается из матрицы преобразования $A$ в любом ортогональном базисе переходом к транспортирования и заменой ее элементов комплексно сопряжёнными.

Заметим, что в неортогональном базисе связь между матрицами преобразований $A$ и $A*$ более сложна.