§11.2 Операция перехода преобразования A к сопряженному

Определение 1. Пусть $A$ - линейное преобразование комплексного евклидова пространства. Преобразование $A*$, определенное условием
$$ (Ax, y) = (x, A^* y), $$
называется сопряженным к $A.$

Теорема 2. В евклидовом пространстве каждому линейному преобразованию отвечает сопряженное преобразование и притом только одно.

Доказательство. Линейному преобразованию $A$ однозначно соответствует согласно теореме 1 этого параграфа билинейгпя форма $A(x; y) = (Ax, y).$ Эту билинейную форму согласно сказанному в конце п. 1 можно представить и притом однозначно, в виде $(x, A^* y).$ Окончательно мы имеем:
$$ (Ax, y) = (A; y) = (x, A^* y). $$
Матрица сопряженного преобразования $A,^*$ получается из матрицы преобразования $A$ в ортогональном базисе переходом к транспортированной
и комплексно сопряжённой матрице, как это доказано в п. 1 этого параграфа

Переход от $A$ к $A^*$ можно выразить в виде правила: если в выражении $(Ax, y)$ мы желаем $A$ перебросить на второе место, то к нему нужно приписать *.

Операция перехода от преобразования $A$ к сопряженному преобразованию $A^*$ ("операция*") связана с определенными выше (параграф 9) операциями сложения и умножения линейных преобразований следующими соотношениями:
$$ 1° (AB)^* = B^* A^*. \\
2° (A^*)^* = A. \\
3° (A+B)^* = A^* + B^*. \\
4° (\lambda A)^* = \overline{\lambda A^*}. \\
5° E^* = E. $$
Докажем, например, первые два из этих свойств.
$$ 1° (ABx, y) = (Bx, A^* y) = (x, B^* A^* y).$$
Но, с другой стороны, по определению $(AB)*$ имеем:
$$ (ABx, y) = (x, (AB)^* y).$$
Сравнивая правые части этих двух равенств и вспомнив, что линейное преобразование однозначно определяется соответствующей ьилинейной формой, получаем:
$$ (AB)^* = B^* A^*. $$
2° По определению $A^*$ имеем:
$$ (Ax, y) = (x, A^* y).$$
Обозначим временно $ A^*$ через $C$. Тогда
$$ (Ax, y) = (x, Cy), $$
откуда
$$ (y, Ax) = (Cy, x).$$
Заменив $y$ через $x,$ а $x$ через $y$ и поменяв местами правую и левую части этого равенства, получим:
$$ (Cx, y) = (x, Ay).$$
Но это, равенство и означает, что $C* = A,$ и так как $ C= A^*,$ то
$$ (A^*)^* = A. $$

Упражнения. 1. Доказать таким же способом равенства 3-5.
2. Доказать равенства 1-5, пользуясь тем, что матрица преобразования $A*$ получается из матрицы преобразования $A$ в ортогональном базисе транспортированием и заменой всех элементов комплексно сопряжёнными.