§11.3 Самосопряженные, унитарные и нормальные линейные преобразования

Операция* в известной мере аналогична операции перехода от данного комплексного числа $\alpha$ к сопряженному $\overline{\alpha}.$ Эта аналогия не случайна. Действительно, для матриц первого порядка над комплексным полем, т. е. для комплексных чисел, операция* как раз и состоит в замене данного числа действительные числа характеризуются тем свойством, что $\overline{\alpha} = \alpha.$ Для линейных преобразований аналогичное понятие является весьма существенным.

Определение 2. Линейное преобразование $A$ называется самосопряженным (или эрмитовым), если $A* = A.$

Покажем, что для того, чтобы линейное преобразование $A$ было самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы билинейная форма $(Ax, y)$ была эрмитовой.

В самом деле, эрмитовости формы $(Ax, y)$ означает, что
$$ (Ax, y) = \overline{(Ay, x)}. \qquad \qquad (a) $$
Самосопряженность преобразования $A$ означает, что
$$ (Ax, y) = (x, Ay). \qquad \qquad (b) $$
Легко видеть, что равенства (а) и (б) эквивалентны.

Всякое комплексное число $\zeta$ представило в виде $ \zeta = \alpha + i \beta,$ где $\alpha $ и $\beta$- действительные числа. Аналогично:
Всякое линейное преобразование $A$ может быть записано в виде
$$ A= A_1 + i A_2, \qquad \qquad (3) $$
где $A_1$ и $A_2$ - Самосопряженные преобразования.

Действительно,
$$ A= {{A + A^*} \over {2}} + i {{A-A^*} \over {2i}}. $$
Введем обозначения
$$ {{A + A^*} \over {2}} = A_1, {{A-A^*} \over {2i}} = A_2. $$
Тогда
$$ A_1^* = ( {{A + A^*} \over {2}}) = {{1} \over {2}} (A+A^*) = {{1} \over {2}} (A^* + A^{**}) = \\
= {{1} \over {2}} (A^* + A) = A_1 $$
и
$$ A_2^* = {{A-A^*} \over {2i}} = - {{1} \over {2i}} (A - A^*)^* = - {{1} \over {2i}} (A^* - A^{**}) = \\
= - {{1} \over {2i}} (A* - A) = A_2, $$
т. е. $A_1$ и $A_2$ - самосопряженные преобразования.

Таким образом, самосопряженные преобразования играют среди всех линейных преобразований роль, аналогичную роли действительных чисел среди всех комплексных.

Упражнения.1. Доказать единственность представления преобразования $A$.
2. Доказать, что линейная комбинация с действительными коэффициентами самосопряженным преобразований есть снова самосопряженное преобразование.
3. Доказать, что если $A$-произвольное линейное преобразование, то преобразования $AA^* $ и $A^* A$-самосопряженные.
Примечание. В отличие от комплексных чисел, $AA^*,$ вообще говоря, не равно $A*A.$

Произведение двух самосопряженных преобразований не есть, вообще говоря, самосопряженное преобразование. Имеет место следующая
Теорема 3. Пусть $A$ и $B$ - самосопряженные линейные преобразования. Для того, чтобы преобразование $AB$ было также самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы $AB=BA,$ т.е. чтобы преобразования $A$ и $B$ были перестановочны.
Доказательство. Нам дано, что
$$ A^* = A \text{и} B^* = B.$$
Мы ищем необходимое и достаточное условие того, чтобы выполнялось равенство
$$ (AB)^* = AB. \qquad \qquad (4) $$
Но
$$ (AB)^* = B^* A^* = BA. $$
Следовательно, равенство (4) имеет место тогда и только тогда, когда
$$ AB=BA.$$
Теорема доказана.

Упражнение. Доказать, что если $A$ и $B$ - самосопряженные преобразования, то самосопряженным будут и преобразования $AB+BA$ и $ i(AB - BA).$

Аналогом комплексных чисел, равных по модулю единице, т. е. таких, что $z \overline{z} = 1,$ являются унитарные преобразования.

Определение 3. Линейное преобразование $U$ называется унитарным, если $$UU^* = U^* U= E^*). $ Другими словами, для унитарного преобразования $ U^* = U^-1. $

В 13 параграфе мы познакомимся с весьма простой геометрической интерпретацией унитарных преобразований.
Упражнения. 1. Доказать, что произведение двух унитарных преобразований есть снова унитарное преобразование.

2. Показать, что если $U$ - унитарное преобразование, а $A$ - самосопряженное преобразование, то $U^{-1} AU$ - также самосопряженное.

Ниже (в параграфе 15) мы докажем, что всякое линейное преобразование можно представить, как произведение самосопряженного на унитарное. Эту теорему можно рассматривать как обобщение записи комплексного числа в тригонометрической форме
Введем ещё одно определение.
Определение 4. Линейное преобразование $A$ называется нормальным, если $AA^* = A^* A.$
Для комплексных чисел нет надобности в аналогичном понятии, так как умножение комплексных чисел коммутативно и, значит, $\overline{\alpha} \alpha$ всегда равно $ \alpha \overline{\alpha}.$
Нетрудно убедиться, что как самосопряженные, так и унитарные преобразования являются частными случаями нормальных преобразований.
Более детальному изучению отдельных классов линейных преобразований в евклидовом пространстве будут посвящены дальнейшие параграфы этой главы. При этом мы получим для различных типов преобразований весьма простую геометрическую характеристику.