§12.1 Самосопряженные преобразования

В этом параграфе мы более подробно изучим класс самосопряженных преобразований n-мерного евклидова пространства. Эти преобразования часто встречаются в различных приложениях. (Существенную роль самосопряженные преобразования, правда в бесконечномерно пространстве, играют в квантовой механике.)

Лемма 1. Собственные значения самосопряженного преобразования вещественны.
Доказательство. Пусть $x$- собственный вектор самосопряженного преобразования $A$ и $ \lambda $ - соответствующее собственное значение, т. е.
$$ Ax = \lambda x; x≠0. $$
Так как $A^* = A, $ то
$$ (Ax, x) = (x, Ax), $$
т. е.
$$ (\lambda x, x) = (x, \lambda x).$$
Вынося $\lambda $ за скобки, получим:
$$ \lambda (x, x) = \overline{\lambda} (x, x), $$
и так как $ (x, x) ≠ 0, $ то $ \lambda = \overline{\lambda},$ что и требовалось доказать.

Лемма 2. Пусть $A$ - самосопряженное линейное преобразование в n-мернос пространстве $R$ и е-его собственный вектор. Совокупность $R_1$ векторов $x,$ ортогональных к е, есть ($(n-1) $ - мерное подпространство, инвариантное относительно преобразования $A.$
Доказательство. Совокупность $R_1$ вектор $x,$ ортогональных к $e,$ образует $(n-1)$ - мерное подпространство.

Покажем, что $R_1$ инвариантно относительно $A.$ Пусть $x \in R_1$. Это значит, что $(x, e) = 0.$ Тогда и $(Ax, e) = 0, $ т. е. $Ax \in R_1.$ Действительно,
$$ (Ax, e) = (x, A^* e) = (x, Ae) = (x, \lambda e) = \lambda (x, e) = 0. $$
Мы доказали, что преобразование $A$ не выводит векторы, принадлежащие $R_1$, из $R_1,$ т . е. доказали, что подпространство $R_1$ ивариантно относительно $A.$

Теорема 1. Пусть $A$ - самосопряженное преобразование в n-мерном евклидовом пространстве $R$. Тогда существует $n$ попарно ортогональных собственных векторов преобразования $A.$ Соответствующие им собственные значения вещественны.
Доказательство. Согласно теореме 1 параграфа 10 в $R$ существует хотя бы один собственный вектор $e_1$ преобразования $A$. В силу леммы 2 совокупность векторов, ортогональных к $e_1,$ образует $(n-1)$ - мерное инвариантное подпространство $R_1$. Будем далее рассматривать наше преобразование $A$ лишь в $R_1$. В $R_1$ существует собственный вектор $e_2$ (см. замечание к теореме 1 параграфа 10). Совокупность векторов из $R_1$, ортогональных к $e_2$, образует $(n-2)$ - мерное инвариантное подпространство $R_2$. В нем существует собственный вектор $e_3$ и т. д.

Мы получаем, таким образом $n$ попарно ортогональных собственных векторов $e_1, e_2, ..., e_n. $ Согласно лемме 1 соответствующие им собственные значения вещественны. Теорема доказана.

Так как произведение собственного вектора на любое отличное от нуля число есть снова собственный вектор, то вектор $e_i$ можно выбрать так, чтобы их длины равнялись единице.

Теорема 2. Пусть $A$ - самосопряженное преобразование в n-мерном пространстве. Тогда существует ортогональный базис, в котором матрица преобразования $A$ диагональна и вещественна. Верно также и обратное.
Доказательство. Выберем в качестве базиса построенные в теореме 1 попарно ортогональные собственные векторы $e_1, e_2, ..., e_n.$
Тогда
$$ Ae_1 = \lambda_1 e_1, \\
Ae_2 = \lambda_2 e_2, \\
............ \\
Ae_n = \lambda_n e_n, $$
т. е. в этом базисе матрица преобразования $A$ имеет вид
$$ \begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 ... 0 \\
0 & \lambda 2 ... 0 \\
\cdots & \cdots \cdots \\
0 $ 0 ... \lambda
\end{pmatrix}, \qquad \qquad (1)$$
где все $\lambda_i$ вещественны.

Обратно, пусть матрица преобразования $A$ в ортогональном базисе имеет вид(1). В ортогональном нормированном базисе матрица сопряженного преобразования $A^*$ получается из матрицы преобразования $A$ транспонированием и заменой каждого элемента комплексного сопряженным (см. параграф 11). Проделав эти операции над матрицей вида (1) (где все $\lambda_i $ вещественны), мы получим ту же самую матрицу. Следовательно, преобразованиям $A$ и $A*$ соответствует одна и та же матрица, т. е. $A= A^*$. Теорема доказана.

Отметим ещё следующее свойство собственных векторов самосопряженного преобразования: собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, взаимно ортогональны.

Действительно, пусть
$$ Ae_1 = \lambda_1 e_1, Ae_2 = \lambda_2 e_2, \lambda_1 ≠ \lambda_2. $$
Имеем:
$$ (Ae_1, e_2) = (e_1, A^* e_2) = (e_1, Ae_2), $$
т. е.
$$ \lambda_1 (e_1, e_2) = \lambda_2 (e_1, e_2) $$
или
$$ (\lambda_1 - \lambda_2) (e_1, e_2) = 0. $$
Так как $\lambda_1 ≠ \lambda_2,$ то
$$ (e_1, e_2) = 0. $$

Замечание. Из данной теоремы следует, что наглядногеометрический смысл произвольного самосопряженного преобразования таков; в пространстве выделяется $n$ попарно ортогональных направлений (собственных направлений). Каждому из этих направлений ставится в соответствие действительное число (собственное значение). По каждому из этих направлений производится растяжение (сжатие) пространства в $|\lambda_i|$ раз и, кроме того, зеркальное отражение в плоскости, ортогональной к данному направлению,если соответствующее $\lambda_i$ отрицательно.

Параллельно с понятием самосопряженного преобразования вводится понятие эрмитовой матрицы.

Матрица $||\alpha_{ik}||$ называется эрмитовой, если $ \alpha_{ik} = \overline{\alpha_{ki}}. $ Ясно, что для того чтобы преобразование $A$ было самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в каком-нибудь ортогональном базисе была эрмитовой.
Упражнение.Возвести матрицу
$$ \begin{pmatrix}
0 & \sqrt{2} \\
\sqrt{2} & 1
\end{pmatrix} $$
в 28-ю степень. Указание. Привести эту матрицу к диагональной форме, затем вовезсти ее в степень и вернуть к прежнему базису.