§12.2 Приведение к главным осям. Одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов

Применим полученные в п. 1 результаты к квадратичным формам.

Мы знаем, что всякой эрмитовой ьилинейной форме соответствует сопряженное линейное преобразование. Из теоремы 2 этого параграфа вытекает важная

Теорема 3. Пусть $R$- евлидово n-мерное пространство и пусть $A(x; y)$ - эрмитова билинейная форма в $R.$ Тогда в $R$ существует ортогональный нормированный базис, в котором соответствующая $A(x; y) $ квадратичная форма записывается в виде суммы квадратов:
$$ A(x; x) = \sum \lambda_i |\xi_i|^2, $$
где $\lambda_i$ вещественны, а $ \xi_i$ - координаты вектора $x^*$).

*) В параграфе 8 мы доказали, что в аффинном пространстве можно всякую квадратичную (или, что то же самое, всякую эрмитовую билинейную) форму привести к сумме квадратов. Здесь мы для евклидова пространства доказываем более сильное утверждение, именно существование нормированного ортогонального базиса, в котором данная эрмитова форма приводится к сумме квадратов.

Доказательство. Если $A (x; y) $- эрмитова билинейгпя форма, т. е.
$$ A(x; y) = \overline{A(y; x)}, $$
то (см. параграф 11) существует такое самосопряженное линейное преобразование $A$, что
$$ A(x; y) = (Ax, y). $$
Выберем в $R$ в качестве векторов ортогонального нормированного базиса систему попарно ортогональных собственных векторов самосопряженного преобразования $A$ (это возможно в силу теоремы 1). Тогда
$$ Ae_1 = \lambda_1 e_1, Ae_2 = \lambda_2 e_2, ..., Ae_n = \lambda_n e_n. $$
Пусть
$$ x= \xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_n e_n, y = \mu_1 e_1 + \mu_2 e_2 + ... + \mu_n e_n $$
Так как
$$ \left.\begin{aligned}
1 \text{при} i ≠ k, \\
0 \text{при} i≠k
\end{aligned}\right\rbrace = (e_i, e_k),
$$
то
$$ A(x; y) = (Ax, y) = \\
= (\xi_1 Ae_1 + \xi_2 Ae_2 + ... + \xi_n Ae_n, \mu_1 e_1 + \mu_2 e_2 + ... + \mu_n e_n) = \\
= (\lambda_1 \xi_1 e_1 + \lambda_2 \xi_2 e_2 + ... + \lambda_n \xi_n e_n, \mu_1 e_1 + \mu_2 e_2 + ... + \mu_n e_n) = \\
= \lambda_1 \xi_1 \overline{\mu_1} + \lambda_2 \xi_2 \overline{\mu_2} + ... + \lambda_n \xi_n \overline{\mu}. $$
В частности,
$$ A(x; x) = (Ax, x) = \lambda_1 |\xi_1|^2 + \lambda_2 |\xi_2|^2 + ... + \lambda_n |\xi_n|^2. $$
Теорема доказана.

Нахождение в евклидовом пространстве ортогонального нормированного базиса, в котором данная квадратичная форма приводится к сумме квадратов, называется приведением этой формы к главным осям.

Теорема 4. Пусть $R$ - аффинное n-мерное пространство и $A(x; x)$ и $B(x; x) $ - две эрмитовы квадратичные формы, причем форма $B(x; x) $ - положительно определенная. Тогда существует базис, в котором обе эти формы записываются в виде суммы квадратов.

Доказательство. Введем в $R$ скалярное произведение, положив $(x, y) = B(x; y),$ где $B(x; y)$ - отвечающая $B(x; x) $ билинейная форма. Это является законным, так как аксиомы скалярного произведения означают, что $(x, y)$ есть эрмитова билинейная форма, соответствующая положительно определенной квадратичной форме (параграф 8). Пространство $R$ станет, таким образом, евклидовы. Согласно теореме 3 в $R$ существует ортогональный базис *) нормированный базис $e_1, e_2, ... , e_n,$ в котором форма $A(x; x) $ приводится к сумме квадратов, т. е. к виду
$$ A(x; x) = \lambda_1 |\xi_1|^2 + \lambda_2 |\xi_2|^2 + ... + \lambda_n |\xi_n|^2. \qquad (2) $$
В нормированном ортогональном базисе скалярное произведение имеет вид
$$ (x, x) = |\xi_1|^ + |\xi_2|^2 + ... + |\xi_n|^2, $$
т. е.
$$ B(x, x) = |\xi_1|^2 + |\xi_2|^2 + ... + |\xi_n|^2. \qquad (3) $$
Мы нашли, таким образом, базис, в котором обе квадратичные формы $A(x; x) $ и $B (x; x)$ одновременно приводятся к сумме квадратов, что и требовалось.

В теореме 4 показано, что в $R$ существует базис, в котором эрмитовы квадратичные формы $A$ и $B$ имеют вид (2) и (3). Покажем, как найти числа $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n. $
В каноническом виде матрицы квадратичных форм $A$ и $B$ имеют вид
$$ A= \begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 ... 0 \\
0 & \lambda_2 ... 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 ... \lambda_n
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
1 & 0 ... 0 \\
0 & 1 ... 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 ... 1
\end{pmatrix}. $$
Следовательно,
$$ Det ( A- \lambda B) = (\lambda_1 - \lambda) (\lambda_2 - \lambda) ... (\lambda_n - \lambda). \qquad (4) $$
При переходе к другому базису матрицы эрмитовых квадратичных форм $A$ и $B$ переходят в $A_1 = C^* AC$ и $B_1 = C^* BC.$ Поэтому, если $e_1, e_2, ..., e_n $- произвольный базис, то в этом базисе
$$ Det (A_1 - \lambda B_1) = Det C^* \cdot Det (A-\lambda B) \cdot Det C, $$
т. е. отличается лишь постоянным множителем от выражения (4). Отсюда следует, что числа $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ являются корнями следующего уравнения:
$$ \begin{vmatrix}
a_{11} - \lambda b_{11} a_{12} - \lambda b_{12} ... a_{1n} - \lambda b_{1n} \\
a_{21} - \lambda b_{21} a_{22} - \lambda b_{22} ... a_{2n} - \lambda b_{2n} \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\
a_{n1} - \lambda b_{n1} a_{n2} - \lambda b_{n2} ... a_{nn} - \lambda b_{nn}
\end{vmatrix} = 0, $$
где $||a_{ik}|| $ и $||b_{ik}||$ - матрицы форм $A(x; x) $ и $B(x; x) $ в каком-нибудь базисе $e_1, e_2, ..., e_n. $
Замечание. Требование положительной определенности одной из форм является существенным, о чем свидетельствует следующий пример: две квадратичные формы
$$A(x; x) = |\xi_1|^2 - |\xi_2|^2, B(x; x) = \xi_1 \overline{\xi_2} + \xi_2 \overline{\xi_1}, $$
из которых ни одна не является положительно определенной, не могут быть одновременно приведены к сумме квадратов. В самом деле, первой форме соответствует матрица
$$ A= \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}, $$
а второй - матрица
$$ B= \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}. $$
Рассмотрим матрицу $ A- \lambda B, $ где $ \lambda$ - вещественный параметр. Ее детерминамент равен $ - (\lambda^2 + 1). $ Так как он не имеет вещественных корней, то, согласно сказанному выше, обе формы не могут быть приведены одновременно к сумме квадратов.