§14.1 Перестановочные преобразования

Мы знаем, что для всякого самосопряженного линейного преобразования есть свой Ортогональный нормированный базис, в котором его матрица диагональна. Может оказаться, что для нескольких самосопряженных преобразований существует базис, в котором матрицы всех этих преобразований диагональны. Мы выясним здесь, при каких условиях это возможно. Разберём в первую очередь случай двух преобразований.

Лемма 1. Пусть $A$ и $B$ - два перестановочных линейных преобразования, т. е.
$$ AB = BA. $$
Тогда совокупность всех собственных векторов преобразования $A,$ отвечающих данному собственному значению $ \lambda$, образует (вместе с нулевым вектором) подпространство $R_1$, инвариантное относительно преобразования $B.$

Доказательство. Нам нужно показать, что если
$$ x \in R_\lambda, \text{т. е.} Ax = \lambda x, $$
то и
$$ Bx \in R_\lambda, text{т. е.} ABx = \lambda Bx. $$
Но так как $AB = BA,$ то
$$ ABx=BAx = B \lambda x = \lambda Bx, $$
и лемма доказана.

Лемма 2. Любые два перестановочных преобразования имеют общий собственный вектор.

Доказательство. Пусть $AB=BA$ и $R_\lambda$ - подпространство, состоящее из всех таких векторов $x,$ что $Ax = \lambda x,$ где $\lambda$ - собственное значение преобразования $A.$ Согласно лемме 1, $R_\lambda$ инвариантно относительно $B.$ Поэтому в нем существует вектор $x_0,$ собственный для $B.$ Этот вектор является собственным и для $A,$ так как все векторы из $R_\lambda$ являются собственными для $A.$

Замечание. Если $AB=BA,$ то вообще говоря, не всякий вектор, собственный для $A$, является собственным. Одноко $x$ вовсе не .Удет собственным векторов для любого перестановочного с $E$ преобразования, так как с $E$ перестановочны все линейные преобразования.

Теорема 1. Пусть $A$ и $B$ - два самосопряженных линейных преобразования в комплексном n-мерном пространстве $R.$ Для того чтобы в $R$ существовал ортогональный базис, в котором преобразования $A$ и $B$ одновременно приводится к диагональной форме, необходимо и достаточно, чтобы они были перестановочны (т. е. $AB = BA). $

Доказательство. Достаточность. Пусть $AB = BA. $ Тогда, в силу леммы 2, существует вектор $e,_1,$ собственный и для $A$ и для $B$, т. е. такой, что
$$ Ae_1 = \lambda_1 e_1, Be_1 = \mu_1 e_1. $$
(n-1) - мерное подпространство $R_1$, ортогональное к $e_1,$ инвариантно как для $A,$ так и для $B$ (см. лемму 2 параграфа 12). Будем рассматривать преобразования $A$ и $B$ лишь в $R_1$. Согласно лемме 2 в $R_2$ существует вектор $e_2$, собственный и для $A$ и для $B$:
$$ Ae_2 = \lambda_2 e_2, Be_2 = \mu_2 e_2. $$

Совокупность векторов из $R_1,$ ортогональных к $e_2,$ образует (n-2) - мерное подпространство, инвариантное как относительно $A,$ так и $B$, т. д. Продолжая этот процесс, мы получим $n$ попарно ортогональных векторов $e_1, e_2, ..., e_n,$ собственных как для $A,$ так и для $B$:
$$ Ae_i = \lambda_i e_i, Be_i = \mu_i e_i (i = 1, ..., n).$$
Примем векторы $e_1, e_2, ..., e_n$ за базис в $R.$ Тогда оба преобразования $A$ и $B$ запишутся в диагональной форме. Достаточность условия $AB = BA$ доказана.

Необходимость. Пусть в некотором ортогональном базисе матрицы преобразований $A$ и $B$ диагональны. Любые диагональные матрицы, как это легко проверить, перестановочны между собой. Но если матрицы преобразований в некотором базисе перестановочны, то перестановочны и сами преобразования.

Упражнение. Пусть $U_1$ и $U_2$ - Перестановочные унитарные преобразования. Доказать, что существует базис, в котором они одновременно записываются в диагональной форме.

Замечание. Теорема 1 переносится на любое множество попарно перестановочных самосопряженных преобразований. Доказательство повторяется дословно, только вместо леммы 2 используется следующая

Лемма 2'. У любого множества попарно перестановочных линейных преобразований есть общий собственный вектор.

Доказательство будем вести по индукции. В одномерно. Пространстве $(n=1)$ лемма очевидна. Предположим, что для пространств размерности $

Если каждый вектор из $R$ является собственным для каждого из рассматриваемых преобразований *) $ A, B, C, ..., $ то все доказано. Предположим поэтому, что хотя бы один вектор не является собственным для какого-либо из наших преобразований, например для $A.$

Обозначим через $R_1$ совокупность всех собственных векторов преобразования $A$ отвечающих какому-нибудь собственному значению $\lambda.$ Согласно лемме 1, $R_1$ инвариантно относительно $B, C, ...$ (и, само собой разумеется, инвариантно относительно $A$). При этом $R_1$ есть подпространство, отличное от нулевого и от всего $R$ и имеющее, следовательно, размерность $\leqslant n - 1.$ Так как по предложению для пространств размерности, меньшей чем $n,$ теорема доказана, то в $R_1$ преобразования $A, B, C, ...$ имеют общий собственный вектор, и лемма доказана.