§14.2 Нормальные преобразования

В параграфах 12 и 13 мы ознакомились с двумя классами линейных преобразований, приводимых в некотором нормированном ортогональном базисе к диагональной форме. Сейчас мы выясним, каков общий вид всех таких преобразований.

Теорема 2. Для того чтобы существовал ортогональный базис, в котором линейное преобразование $A$ приводится к диагональной форме, необходимо и достаточно, чтобы
$$AA^* = A^* A.$$
(Такие преобразования мы назвали нормальными.)

Доказательство. Необходимость. Пусть в некотором ортогональном нормированном базисе матрица преобразования $A$ диагональна, т. е. имеет вид
$$\begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 ... 0 \\
0 & \lambda_2 ... 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 ... \lambda_n
\end{pmatrix}. $$
Так как базис Ортогональный и нормированный, то матрица преобразования $A^*$ имеет вид
$$\begin{pmatrix}
\overline{\lambda_1} & 0 ... 0 \\
0 & \overline{\lambda_2} ... 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 ... \overline{\lambda_n}
\end{pmatrix}. $$
Матрицы преобразований $A$ и $A^*$ диагональны и, значит, перестановочны между собой. Следовательно, перестановочны и сами преобразования $A$ и $A^*$.

Достаточность. Пусть $A$ и $A^*$ перестановочны. Тогда, согласно лемме 2 этого параграфа, у $A$ и $A^*$ существует общий собственный вектор $e_1, $ т. е.
$$ As_1 = \lambda_1 e_1, A^* e_1 = \mu_1 e_1^*). $$
(n-1) - мерное подпростраство $R_1$, состоящее из векторов, ортогональных к $e_1$, инвариантно как относительно $A,$ так и относительно $A^*$. Действительно, пусть $x\in R_1,$ т. е. $(x_1, e_1) = 0. $ Тогда
$$ (Ax, e_1) = (x, A^* e_1) = (x, \mu_1 e_1) = \overline{\mu_1} (x, e_1) = 0, $$
т. е. $Ax \in R_1.$ Инвариантность $R_1$ относительно $A$ доказана. Аналогично доказывается инвариантность $R_1$ относительно $A^*.$

Применяя к $R_1$ ту же лемму 2, получим, что в $R_1$ существует вектор $e_2,$ собственный одновременно и для $A$ и для $A^*.$ Через $R_2$ обозначим ($n-2)$-мерное подпространство, состоящее из векторов подпространства $R_1$, ортогональных к $e_2$, т. д. Продолжая таким образом, мы построим $n$ попарно ортогональных векторов $e_1, e_2, ..., e_n, $ каждый из которых является собственным как для $A,$ так и для $A^*.$ Векторы $e_1, e_2, ..., e_n $ образуют ортогональный базис, в котором как $A,$ так и $A^*$ приводятся к диагональной форме.

Другое доказательство достаточности.
Положим
$$ A_1 = {{A + A^*} \over {2}}, A_2 = {{A-A^*} \over {2i}}. $$
Преобразования $A_1$ и $A_2$ - самосопряженные. Если $A$ и $A^*$ перестановочны, то $A_1$ и $A_2$ также перестановочны. В силу теоремы 1 настоящего параграфа преобразования $A_1$ и $A_1$ могут быть одновременно приведены к лиагональной форме. Но тогда и $A = A_1 + i A_2$ также записывается в диагональной форме.

Если $A$- самосопряженное преобразование, то
$$ AA^* = A^* A = A^2,$$
т. е. $A$ нормально. Нормальным является также всякое унитарное преобразование, так как в этом случае $ UU^* = U^* U=E.$ Поэтому теорема 2 этого параграфа содержит как частный случай результаты параграфа 12 (п. 1) и параграфа 13.

Упражнения. 1. Доказать, что любое множество попарно перестановочных нормальных преобразований приводится одновременно к диагональной форме.
2. Доказать, что всякое нормальное преобразование $A$ может быть записано в виде
$$ A=HU=UH, $$
где $H$-самосопряденное преобразование, а $U$ - унитарное, причем $H$ и $U$ перестановочны.

Указание: Выбрать базис, в котором $A$ и $A^*$ приводятся к диагональной форме.
3. Доказать, что если $A=HU,$ где $H$ и $U$ перестановочны, $H$ - эрмитово, $U$- унитарно, то $A$ - нормальное преобразование.