§15.1 Разложение линейного преобразования в произведение унитарного и эрмитова

Всякое комплексное число можно разложить в произведение положительного числа и числа, по модулю равного единице (так называемая тригонометрическая форма комплексного числа). Мы хотим получить для линейных преобразований аналог такого разложения.

Аналогом чисел, по модулю равных единице, являются унитарные линейные преобразования. Аналогом положительных действительных чисел являются преобразования.

Определение 1. Линейное преобразование $H$ называется положительно определенным, если $H$ самосопряженно и $(Hx, x) \leqslant 0$ для любого $x.$

Теорема 1. Всякое невырожденное линейное преобразование $A$ может быть представлено в виде
$$ A= HU \text{либо} A = U_1 H_1), $$
где $H$ (соотв. $H_1$) - унитарное преобразование.

Само доказательство мы проведем несколько позже: сейчас мы выясним, как по $A$ найти соответствующие $H$ и $U,$ если указанное в теореме 1 разложение возможно; это подскажет нам пусть для доказательства теоремы.

Пусть $A = HU,$ где $H$ - положительно определенное невырожденное преобразование, а $U$ - унитарное преобразование. $H$ легко выразить через $A;$ в самом деле,
$$ A^* = U^* H^* = U^{-1} H, $$
откуда
$$AA^* = H^2.$$
Следовательно, для того чтобы найти $H$, нужно "извлечь квадратный корень" из $AA^*$. Зная $A$ и $H$, легко получить $U,$ полагая $U= H^{-1} A. $
Доказательству теоремы 1 предпошлем три леммы.

Лемма 1. Каково бы ни было линейное преобразование $A,$ преобразование $AA^*$ - положительно определенное. Если $A$ не вырождено, то $AA^*$ также не вырождено.

Доказательство. Преобразование $AA^*$ положительно определено. Действительно:
$$ (AA^* x, x) = (A^* x, A^* x) \geqslant 0$$
для любого $x$. Кроме того,
$$ (AA^*)^* = A^{**} A^* = AA^*, $$
т. е. $AA^*$ - самосопряженное преобразование.

Если преобразование $A$ не вырождено, то детерминант матрицы $ || \alpha_{ik}|| $ преобразования $A$ в любом ортогональном базисе не равен нулю. Дерминант матрицы $||\overline{\alpha_{ik}}||$ преобразования $A^*$ в том же базисе является комплексно сопряжёнными к детерминанты матрицы $||\alpha_{ik}||$ и, следовательно, также не равен нулю. Поэтому в данном случае детерминант матрицы, соответствующий преобразованию $AA^*$, не равен нулю, а значит, что преобразование $AA^*$ - невырожденное.

Лемма 2. Если $B-$ положительно определенное преобразование, то его собственные значения неотрицательны. Обратно, если все собственные значения самосопряженного преобразования $B$ неотрицательны, то $B$ - положительно определенное преобразование.
Доказательство. Пусть $B$ положительно определенно и $Be= \lambda e.$ Тогда
$$ (Be, e) = \lambda (e, e) $$
итак как $(Be, e) \geqslant 0$ и $ (e, e) > 0,$ то $\lambda \geqslant 0.$

Обратно, пусть все собственные значения самосопряженного преобразования $B$ неотрицательны $e_1, e_2, ..., e_n $ - нормированный ортогональный базис, состоящий из собственных векторов преобразования $B.$ Пусть
$$ x = \xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_n e_n $$
- произвольный вектор из $R.$ Тогда
$$ (Bx, x) = \\
= (\xi_1 Be_1 + \xi_2 Be_2 + ... + \xi_n Be_n, \xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_n e_n) = \\
= (\xi_1 \lambda_1 e_1 + \xi_2 \lambda_2 e_2 + ... + \xi_n \lambda_n e_n, \xi_1 \e_1 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_n e_n) = \\
= \lambda_1 |\xi_1|^2 + \lambda_2 |\xi_2|^2 + ...+ \lambda_n |\xi_n|^2 \qquad (1) $$
и так как все $\lambda_i$ неотрицательны, то $(Bx, x) \geqslant 0.$

Замечание. Из равенства (1) непосредственно видно, что если все $\lambda_i$ положительны, то преобразование $B$ не вырождено и обратно.

Лемма 3. Если $B$-полодительно определенное преобразование, то существует такое положительно определенное преобразование $H,$ что $H^2 = B$(мы запишем это так: $ H = \sqrt{B} = B^{{{1} \over {2}}}).$ При этом, если $ B$ не вырождено, то и $H$ не вырождено.

Доказательство. Выберем в $R$ Ортогональный базис, в котором $B$ записывается в даигональной форме:
$$ B = \begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 ... 0 \\
0 & \lambda_2 ... 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 ... \lambda_n
\end{pmatrix}. $$
$ \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ - собственные значения $B.$ Согласно лемме 2 все $\geqslant 0.$ Положим
$$ H = \begin{pmatrix}
\sqrt{\lambda_1} & 0 ... 0 \\
0 & \sqrt{\lambda_2} ... 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 ... \sqrt{\lambda_n}
\end{pmatrix}, $$
где числа $\sqrt{\lambda_i}$ выбираются неотрицательными. В силу той же леммы 2 преобразование $H$ положительно определено. При это, если $B$ не вырождено, то (см. замечание к лемме2) $\lambda_i > 0,$ значит, и $\sqrt{\lambda_i} > 0$ и, следовательно, $H$ не вырождено.

Перейдем теперь к доказательству теоремы 1. Пусть $A$-любое невырожденное линейное преобразование. Положим
$$ H = \sqrt{AA^*}. $$
В силу доказанных лемм 1 и 3, $H$ есть невырожденное положительно определенное преобразование. Положим, далее,
$$ U= H^{-1} A. \qquad \qquad (2) $$
Преобразование $U$ унитарно. В самом деле,
$$ UU^* = H^{-1} A(H^{-1} A)^* = H^{-1} AA^* H^{-1} = H^{-1} H^2 H^{-1} = E. $$
Из (2) следует, что $A = HU.$ Теорема доказана.

Операцию извелечения квадратного корня, примененную в этом параграфе, можно использовать для доказательства следующего предположения:

Пусть $A$ и $ B$ - два самосопряженных преобразования, причем $A$ - невырожденное положительно определенное преобразование. Тогда собственные значения преобразования $AB$ вещественны.

Доказательство. Мы знаем, что характеристические многочлены (а значит, и собственные значения) преобразований
$$ X= AB \text{и} C^{-1} XC $$
совпадают. Положим $ C= A^{{{1} \over {2}}}. $ Тогда
$$ C^{-1} XC = A^{-{{1} \over {2}}} ABA^{{{1} \over {2}}} = A^{{{1} \over {2}}} B A^{{{1} \over {2}}} $$.
Легко видеть, что полученное преобразование является самосопряженным:
$$ (A^{{{1} \over {2}}} B A^{{{1} \over {2}}})^* = (A^{{{1} \over {2}}})^* B^* (A^{{{1} \over {2}}})^* = A^{{{1} \over {2}}} B A^{{{1} \over {2}}}. $$
Утверждение доказано.

Упражнение.
Доказать, что если $A$ и $B$ - положительно определенные преобразования, из которых одно не вырождено, то преобразование $AB$ имеет неотрицательные собственные значения.