§16.1 Линейные преобразования в вещественном евклидовом пространстве

В этом параграфе мы будем заниматься линейными преобразованиями в вещественном пространстве. Из материала данной главы для этого достаточно знать содержание параграфов 9-11.

1. Определения инвариантного подпространство, собственного вектора, собственного значения, были введены для линейного пространства над произвольным полем и поэтому имеют смысл также и для вещественного линейного пространства.

Существенную роль во все теории играла доказанная в параграфе 10 теорема о то, что в комплексном пространстве всякое линейное преобразование имеет собственный вектор (одномерное инвариантное подпространство). В случае вещественном пространства эта теорема неверна. Например, поворот плоскости вокруг начала координат на угол, отличный от $kπ$, представляет собой линейное программирование, не имеющее ни одного одномерного инвариантного подпространства. Однако имеет место следующая теорема:

Теорема 1. У всякого линейного преобразования $A$ в вещественном линейном пространстве $R$ существует одномерное или двумерное инвариантное подпространство.

Доказательство. Выберем в $R$ базис $e_1, e_2, ..., e_n $. Преобразованию $A$ отвечает в этом базисе матрица $||\alpha_{ik}||.$
Рассмотрим систему уравнений
$$
\left.\begin{aligned}
a_{11} \xi_1 + a_{12} \xi_2 + ... + a_{1n} \xi_n = \lambda \xi_1, \\
a_{21} \xi_1 + a_{22} \xi_2 + ... + a_{2n} \xi_n = \lambda \xi_2, \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\
a_{n1} \xi_1 + a_{n2} \xi_2 + ... + a_{nn} \xi_n = \lambda \xi_n
\end{aligned}\right\rbrace \qquad (1)
$$
и будем искать для нее ненулевого решение $\xi_1^0, \xi_2^n, ..., \xi_n^0. $ Такое решение существует тогда и только тогда, когда определитель
$$ \begin{pmatrix}
a_{11} - \lambda & a_{12} ... a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} - \lambda ... a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} ... a_{nn} - \lambda
\end{pmatrix} $$
равен нулю. Приравняв его нулю, мы получим уравнение n-й степени относительно $\lambda$ с вещественными коэффициентами. Пусть $\lambda_0$ есть корень этого уравнения. Возможны два случая:

а) $\lambda_0$ есть вещественный корень этого уравнения. Тогда можно найти вещественные не все равные нулю числа $\xi_1^0, \xi_2^0, ..., \xi_n^0, $ являющиеся решением системы (1). Считая их координатами некоторого вектора $x$ в базисе $e_1, e_2, ..., e_n,$ мы можем систему (1) переписать в виде
$$ Ax = \lambda_0 x, $$
т. е. $x$ порождает одномерное инвариантное подпространство.
b) $$ \lambda_0 = \alpha + i \beta,$$ т. е. $\lambda_0$ комплексно. Пусть
$$ \xi_1 + i \eta_i, \xi_2 + i \eta_2, ..., \xi_n + i \eta_n $$
есть решение системы (1); подставляя эти числа вместо $ \xi_1, \xi_2, ...., \xi_n$ в (1) и отделяя вещественную часть от мнимой, мы получаем:
$$ \left.\begin{aligned}
a_{11} \xi_1 + a_{12} \xi_2 + ... + a_{1n} \xi_n = \alpha \xi_1 - \beta \eta_1, \\
a_{21} \xi_1 + a_{22} \xi_2 + ... + a_{2n} \xi_n = \alpha \xi_2 - \beta \eta_2, \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . \\
a_{n1} \xi_1 + a_{n2} \xi_2 + ... + a_{nn} \xi_n = \alpha \xi_n - \beta \eta_n,
\end{aligned}\right\rbrace \qquad (2) $$
и соответственно
$$ \left.\begin{aligned}
a_{11} \eta_1 + a_{12} \eta_2 + ... + a_{1n} \eta_n = \alpha \eta_1 + \beta \xi_1, \\
a_{21} \eta_1 + a_{22} \eta_2 + ... + a_{2n} \eta_n = \alpha \eta_2 + \beta \xi_2, \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . \\
a_{n1} \eta_1 + a_{n2} \eta_2 + ... + a_{nn} \eta_n = \alpha \eta_n + \beta \xi_n,
\end{aligned}\right\rbrace \qquad (2') $$

Будем теперь $ \xi_1, \xi_2, ..., \xi_n$ (соотв. $\eta_1, \eta_2, ..., \eta_n$) считать координатами некоторого вектора $x$ (соотв. $y$) в $R;$ тогда соотношения (2) и (2') можно записать следующим образом:
$$ Ax = \alpha x - \beta y; Ay = \alpha y + \beta x. \qquad \qquad (3) $$
Равенство (3) означает, что двумерное подпространство, порожденное векторами $x$ и $y$, инвариантно относительно $A.$

В дальнейшем мы будем пользоваться тем, что в двумерном инвариантном подпространстве, отвечающем корню $ \lambda = \alpha + i \beta, $ преобразование имеет вид (3).

Упражнение. Доказать, что в вещественном пространстве нечётного числа измерений (в частности в трехмерном) у каждого линейного преобразования есть одномерное инвариантное подпространство.