§16.4 Одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов

Теорема 4. Пусть в n-мернос пространстве $R$ заданы две квадратичные формы $A(x; x)$ и $B(x; x)$, причем форма $B(x; x)$ положительно определенная. Тогда в $R$ существует базис, в котором обе эти квадратичные формы записываются в виде суммы квадратов.

Доказательство. Пусть $B(x; y)$-билинейная форма, соответствующая квадратичной форме $B(x; x).$ Определим в $R$ скалярное произведение формулой
$$ (x, y) = B(x; y).$$
Согласно предыдущей теореме в $R$ существует нормированный ортогональный*) базис $e_1, e_2, ..., e_n,$ в котором форма $A(x; x)$ приводится к сумме квадратов, т. е.
$$ A(x; x) = \sum_{i=1}^n \lambda_i \xi_i^2. \qquad \qquad (7)$$
Скалярный квадрат в нормированном ортогональном базисе имеет вид:
$$ (x, x) = B(x; x) = \sum_{i=1}^n \xi_i^2 \qquad \qquad (8)$$

Итак, в базисе $e_1, e_2, ..., e_n$ обе квадратичные формы записываются в виде суммы квадратов. Теорема доказана.