§16.5 Ортогональные преобразования

Определение. Линейное [преобразование $A$ вещественного n-мерного евклидова пространства называется ортогональным преобразованием, если оно сохраняет скалярное произведение векторов, т. е.
$$ (Ax, Ay) = (x, y) \qquad qquad (9)
для всех $x, y \in R.$
Полагая в равенстве (9) $x = y, $ получаем
$$ |Ax|^2 = |x|^2, \qquad \qquad (10)$$
т. е. ортогональное преобразование сохраняет длины векторов.

Упражнение. Доказать, что условие (10) является достаточным условием ортогональности линейного преобразования.

Так как
$$ \cos \phi = {{(x, y)} \over {|x| |y|}} $$
и так как и числитель, и знаменатель в этом выражении не меняются при ортогональном преобразовании, то ортогональное преобразование сохраняет углы между векторами.

Пусть $e_1, e_2, ..., e_n$ - Ортогональный нормированный базис. Так как преобразование $A$ сохраняет углы между векторами и их длины, то векторы $Ae_1, Ae_2, ..., Ae_n$ также образуют ортогональный нормированный базис, т. е.
$$
\left.\begin{aligned}
1 \text{при} i=k, \\
0 \text{при} i≠k. \\
\end{aligned}\right\rbrace = (Ae_i, Ae_k) \qquad (11)
$$

Пусть теперь $||a_{ik}||$ - матрица преобразования в ортогональном нормированном базисе $e_1, e_2, ..., e_n.$ Так как столбцы этой матрицы являются координатами векторов $Ae_i,$ то условие (11) записывается следующим образом:
$$
\left.\begin{aligned}
1 \text{при} i=k, \\
0 \text{при} i≠k. \\
\end{aligned}\right\rbrace = \sum_{a=1}^n a_{ai} a_{ak} \qquad (12)
$$
Упражнение. Показать, что условия (11), а следовательно и (12), являются достаточными условиями ортогональности преобразования.

Условия (12) можно записать в матричной форме.
Действительно, $\sum_{a=1}^n a_{ai} a_{ak}$ суть элементы произведения матрицы на ее транспонированную. Поэтому условия (12) означают, что произведение матрицы на ее транспонированную есть единичная матрица. Так как определитель произведения матриц равен произведению их определителей, то мы получаем также, что квадрат определителя матрицы ортогонального преобразования равен единице, т. е. что определитель матрицы ортогонального преобразования равен ±1.

Ортогональные преобразования, определитель которых равен ±1, называются несобственными.

Докажем следующее существенное свойство ортогональных преобразований.

Лемма. Если $R_1$ - подпространство пространства $R,$ инвариантное относительно ортогонального линейного преобразования $A,$ то его ортогональное дополнение $R_2$, т. е. совокупность всех векторов $Y,$ ортогональных к каждому $x \in R_1$, также есть инвариантное подпространство.

Доказательство. Пусть $y \in R_2, $ т. е. $(x, y) = 0 $ всякого $x \in R.$

Покажем, что при этом $(x, Ay) = 0$ для всякого $x \in R_1$. Так как преобразование $A$ ортогонально, то оно невырождено и его образ на любом инвариантном подпространстве совпадает с этим подпространством. Поэтому всякое $x \in R_1$ представимо в виде
$$ x = Az, \text{где} z \in R_1.$$
Отсюда $(x, Ay) = (Az, Ay) = (z, y) = 0, $ т. е. $Ay \in R_2$
Лемма доказана.

Упражнение. Доказать, что произведение двух собственных или двух несобственных ортогональных преобразований есть собственное ортогональное преобразование, а произведение собственного из несобственного есть несобственное ортогональное преобразование.

Замечание. Разделение ортогональных преобразований на собственные и несобственные связано с тем, что ортогональное преобразование, которое можно получить непрерывным переходом от единичного преобразования, обязательно собственно. Действительно, пусть $A_t$-ортогональное преобразование, непрерывно зависящее от параметра $t$ (это значит, что элементы матрицы этого преобразования в каком-либо базисе непрерывно зависят от $t$), причем $A_0 = E.$ Тогда определитель этого преобразования есть также непрерывная функция от $t$. Так как непрерывная функция, принимающая лишь значения ±1, должна быть постоянной, а при $t=0$ определитель преобразования $A_0$ равен 1, то и при $t ≠ 0$ определитель преобразования $A_t$ равен 1. Используя теорему 5 этого параграфа, можно показать и обратное, а именно, что всякое собственное ортогональное преобразование может быть получено непрерывным изменением из единичного.

Изучим ортогональные преобразования в одномерном и двумерном пространствах. Ниже мы увидим, что изучение ортогональных преобразований в пространстве любого числа измерений сводится к этим простейшим случаям.

Пусть $e$-вектор, порождающий одномерное преобразование $A.$ Тогда $ Ae = \lambda e$ и так как в силу ортогональности $(Ae, Ae) = (e, e),$ то $ \lambda^2 (e, e) = (e, e)$, т. е. $ \lambda = ±1.$

Таким образом, в одномерном пространстве есть лишь два ортогональных преобразования: преобразование $Ax = x$ и преобразование $Ax = - x;$ первое из них собственное, а второе - несобственное.

Рассмотрим ортогональные преобразования в двумерном пространстве $R.$ Пусть $e_1, e_2$ - ортогональный нормированный базис в $R.$ Пусть далее преобразование $A$ в этом базисе задаётся матрицей
$$ \begin{pmatrix}
\alpha & \beta \\
\gamma & \delta
\end{pmatrix} \qquad \qquad (13)$$
Разберём сначала случай собственного ортогонального преобразования, т. е. положим $ \alpha \delta - \beta \gamma = 1.$

Условие ортогональности преобразования означает, что произведение матрицы (13) на ее транспортированной есть единичная матрица, т. е. что
$$ {\begin{pmatrix}
\alpha & \beta \\
\gamma & \delta
\end{pmatrix}}^{-1} = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\
\gamma & \delta
\end{pmatrix} \qquad \qquad (14) $$
Так как определитель матрицы (13) равен единице, то
$$ {\begin{pmatrix}
\alpha & \beta \\
\gamma & \delta
\end{pmatrix}}^{-1} = \begin{pmatrix}
\delta & - \beta \\
- \gamma & \alpha
\end{pmatrix} \qquad (15)$$
Из (14) и (15) следует, что матрица преобразования $A$ в этом случае имеет вид
$$ \begin{pmatrix}
\alpha & - \beta \\
\beta & \alpha
\end{pmatrix}, $$
где $ \alpha^2 + \beta^2 = 1.$ Полагая $ \alpha = \cos \phi, \beta = \sin \phi,$ получаем что всякое собственное ортогональное преобразование в двумерном пространстве имеет в ортогональном нормированном базисе матрицу вида
$$ \begin{pmatrix}
\cos \phi - \sin \phi \\
\sin \phi & \cos \phi
\end{pmatrix} $$
(поворот в плоскости на угол $\phi$).

Пусть теперь $A$ - несобственное преобразование, т. е. $ \alpha \delta - \beta \gamma = -1.$ В этом случае характерестическое уравнение матрицы (13) имеет вид $\lambda^2 - (\alpha + \delta) \lambda -1$ и, следовательно, имеет вещественные корни. Значит, у преобразования $A$ имеется собственный вектор $e, Ae = \lambda e.$ Из ортогональности преобразования следует, что $Ae = ± e.$ Но ортогональное преобразование не меняет углов между векторами и их длин. Значит, ортогональный $e$ вектор $e_1$ переходит после преобразования в вектор, ортогональный $ Ae = ± e,$ т. е. в $± e_1.$ Итак, в базисе $ e, e_1$ матрица преобразования $A$ имеет вид
$$ \begin{pmatrix}
± 1 & 0 \\
0 & ± 1
\end{pmatrix}. $$
Так как определитель матрицы несобственного преобразования равен -1, то возможны лишь следующие канонические виды матрицы несобственного ортогонального преобразования в двумерном пространстве
$$ \begin{pmatrix}
+1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & +1
\end{pmatrix}. $$
(Зеркальное отражения относительно одной из осей.)

Найдем теперь простейший вид матрицы ортогонального преобразования для случая пространства любого числа измерений.

Теорема 5. Пусть $A$- ортогональное преобразование в n-мерном евклидовом пространстве $R.$ В $R$ существует Ортогональный нормированный базис $ e_1, e_2, ..., e_n, $ в котором матрица преобразования $A$ имеет вид
$$ \begin{pmatrix}
1 \\
. \\
. \\
. \\
1 \\
-1 \\
. \\
. \\
. \\
-1 \\
\cos \phi_1 - \sin \phi_1 \\
\sin \phi_1 \cos \phi_1 \\
. \\
. \\
. \\
\cos \phi_k - \sin \phi_k \\
\sin \phi_k \cos \phi_k
\end{pmatrix} $$
Все элементы, кроме выписанных, суть нули.

Доказательство. Согласно теореме 1 этого параграфа в $R$ можно выбрать либо одномерное, либо двумерное инвариантное подпространство $R^{(1)}.$ Если существует одномерное инвариантное подпространство $R^{(1)}$, то обозначим через $e_1$ содержащийся в нем вектор единичной длины. Если же одномерного инвариантного подпространствп нет, то возьмём двумерное и обозначим через $e_1, e_2$ его Ортогональный нормированный базис.

В случае, если $R^1$ одномерно, преобразование $A$ имеет в нем вид: $Ax = ± x. $

В случае, если подпространство $R^1$ двумерно, наше преобращование является в нем собственным ортогональным преобразованием (так как в противном случае в $R^1$ существовало бы одномерное инвариантное подпространство), и, следовательно, $A$ имеет в $R^1$ матрицу
$$ \begin{pmatrix}
\cos \phi - \sin \phi \\
\sin \phi & \cos \phi
\end{pmatrix}. $$

Совокупность $R$ векторов, ортогональных ко всем векторам из $R^1$, согласно доказанной выше лемме, есть снова инвариантное подпространство.
В инвариантном подпространстве $R$ снова находим одномерное или двумерное инвариантное подпространство, выбираем в нем базис и так далее.

Мы получим таким образом $n$ попарно ортогональных векторов длины 1. Примем их за базис в $R$. Тогда матрица преобразования будет иметь вид
$$ \begin{pmatrix}
1 \\
. \\
. \\
. \\
1 \\
-1 \\
. \\
. \\
. \\
-1 \\
\cos \phi_1 - \sin \phi_1 \\
\sin \phi_1 \cos \phi_1 \\
. \\
. \\
. \\
\cos \phi_k - \sin \phi_k \\
\sin \phi_k \cos \phi_k
\end{pmatrix} $$
где стоящие по диагонали ±1 отвечают одномерным инвариантным подпространствам, а "клетки"
$$ \begin{pmatrix}
\cos \phi_i - \sin \phi_i \\
\sin \phi_i & \cos \phi_i
\end{pmatrix} $$
- двумерным инвариантным подпространствам. Теорема доказана.

Замечание. Назовем простым вращением собственное ортогональное преобразование, представляющее собой поворот в некоторой двумерной плоскости и оставляющее неизменным $(n-2)$ - мерное подпространство, ортогональное к этой плоскости. Таким образом простое вращение есть преобразование, матрица которого может быть приведена к виду
$$ \begin{pmatrix}
1 \\
. \\
. \\
. \\
1 \\ \cos \phi - \sin \phi \\
\sin \phi & \cos \phi \\
1 \\
. \\
. \\
. \\
1
\end{pmatrix} $$

Простым отражением мы назовем несобственное линейное преобразование, меняющее направление всех векторов, принадлежащих некоторому одномерно у подпространству, на противоположное и оставляющее неизменными векторы его $(n-1)-$ мерного ортогонального дополнения. Таким образом простое отражение есть преобразование, матрица которого в некотором базисе имеет вид
$$ \begin{pmatrix}
1 \\
. \\
. \\
. \\
1 \\
-1 \\
1 \\
. \\
. \\
. \\
1
\end{pmatrix}. $$
Пользуясь результатом теоремы 5, нетрудно показать, что всякое ортогональное преобразование может быть представлено как произведение некоторого числа простых вращений и простых отражений. Доказательство предоставляется читателю.