§17.1 Экстремальные свойства собственных значений

Рассмотрим сопряженное линейное преобразование $A$ в n-мерном евклидовом пространстве. Мы покажем, что его собственные значения можно получить, рассматривая некоторую задачу на минимум, связанную с соответствующей $A$ квадратичной формой $(Ax, x).$ Это, в частности, позволит доказать существование собственных векторов и собственных значений, не пользуясь теоремой о существовании корня уравнения n-й степени. Эти экстремальные свойства полезны также при вычислении собственных значений. Мы рассмотрим сначала вещественное пространство, а затем перенесем полученные результаты на случай комплексного пространства.

Докажем сначала следующую лемму.

Лемма 1. Пусть $B$ - некоторое самосопряженное линейное преобразование в вещественном пространстве такое, что квадратичная форма $(Bx, x)$ неотрицательно, т. е.
$$ (Bx, x) \geqslant 0 \text{для любого} x. $$

Тогда, если для некоторого $x = e$
$$ (Be, e) = 0, $$
то и $Be = 0.$
Доказательство. Покажем, что для любого вектора $h$ имеем $(Be, h) = 0.$ Для этого положим $x=e+ th,$ где $t$-произвольное число, а $h$-вектор. Тогда имеем
$$(B(e+th), e+th) = \\
= (Be, e) + t(Be, h) + t(Bh, e) + t^2 (Bh, h) \geqslant 0, $$
т. е. так как $(Bh, e) = (h, Be) = (Be, h)$ и $(Be, e) = 0,$ то $2t (Be, h) + t^2 (Bh, h) \geqslant 0$ для любых $t$. Отсюда следует, что $(Be, h) = 0.$

Действительно, функция $at + bt^2$ при $ a≠0$ меняет знак в точке $t =0,$ мы же получили, что выражение
$$ 2t (Be, h) + t^2(Bh, h) $$
для любых $t$ неотрицательно, следовательно,
$$ (Be, h) = 0.$$
Так как $h$ произвольно, то $Be = 0,$ что и требовалось доказать.

Пусть $A$ - некоторое самосопряженное линейное преобразование в n-мерном вещественном евклидовом пространстве. Соответствующую $A$ квадратичную форму $(Ax, x) $ будем рассматривать на единичной сфере, т. е. на множестве векторов $x,$ для которых
$$ (x, x) = 1. $$
Имеет место следующая
Теорема 1. Пусть $A$ - самосопряженное линейное преобразование. Тогда соответствующая $A$ квадратичная форма $(Ax, x)$ достигает на единичной сфере минимума $\lambda_1$. Вектор $e_1,$ на котором этот минимум достигается, есть собственный вектор преобразования $A,$ а значение минимума $\lambda_1$ - соответствующее собственное значение этого преобразования.

Доказательство. Единичная сфера есть ограниченное замкнутое множество в n-мерном пространстве. Поэтому $(Ax, x)$ как непрерывная на нем функция, достигает минимума в некоторой точке $e_1$. Обозначим этот минимум через $\lambda_1.$ Тогда имеем
$$ (Ax, x) \geqslant \lambda_1, \text{если} (x, x)=1, \qquad \qquad (1)$$
причем
$$ (Ae_1, e_1) = \lambda_1, \text{где} (e_1, e_1)=1.$$
Запишем неравенство (1) в виде
$$ (Ax, x) \geqslant \lambda_1 (x, x), \text{где} (x, x) = 1. \qquad \qquad (2)$$
Оно справедливо для векторов длины единица. Так как при умножении $x$ на некоторое число $\alpha$ как правая, так и левая части неравенства умножаются на $\alpha^2$, то оно справедливо для векторов любой длины (поскольку любой вектор можно получить из вектора длины единица умножением его на некоторое число $\alpha$).
Полученное можно переписать так:
$$ (Ax - \lambda_1 x, x) \geqslant 0 \text{для любых} x, $$
причем для $x = e_1$ имеет место
$$ (Ae_1 - \lambda_1 e_1, e_1) = 0.$$

Это значит, что преобразование $B=A- \lambda_1 E$ удовлетворяет условиям леммы 1. Отсюда, применяя эту лемму, получаем:
$$ (A - \lambda_1 E) e_1 = 0, \text{т. е.} Ae_1 = \lambda_1 e_1.$$

Таким образом, $e_1$ является собственным векторов преобразования $A,$ соответствующим собственному значению $\lambda_1$. Теорема доказана.

Для нахождения следующего собственного значения рассмотрим все векторы из $R,$ ортогональные к собственному вектору $e_1$. Как было показано в п. 2 параграфа 16, эти векторы образуют $(n-1)$ - мерное подпространство $R_1$, инвариантное относительно преобразования $A.$

Отыскивая минимум квадратичной формы $(Ax, x)$ при условии $(x, x) = 1,$ в этом подпространстве мы придем к новому собственному вектору $e_2$ и собственному значению $\lambda_2.$
Очевидно, что $ \lambda_2 \geqslant \lambda_1,$ так как минимум $(Ax, x)$ во всем пространстве не может быть больше, чем минимум той же функции в подпространстве.

Следующий собственный вектор мы получим, решая ту же задачу в $(n-2)$- мерном инвариантном подпространстве, состоящем из векторов, ортогональных и $e_1$ и $e_2$. Значение минимума $(Ax, x)$ в этом подпространстве будет третьем собственным значением.

Продолжая этот процесс, мы исчерпаны все $n$ собственных значений и соответствующих им собственных векторов нашего преобразования.

Иногда бывает полезно определить второй, третий и т.д. собственные векторы преобразования из задачи на максимум и минимум непосредственно, не считая при этом известными предыдущие собственные векторы.

Пусть $A$- самосопряженное линейное преобразование. Обозначим через
$$ \lambda_1 \leqslant \lambda_2 \leqslant ... \leqslant \lambda_n$$
его собственные значения, расположенные в возрастающем порядке, а через $e_1, e_2, ..., e_n$-соответствующие им нормированные и ортогональные собственные векторы.

Покажем, что если мы возьмём первые $k$ собственных векторов
$$ e_1, e_2, ..., e_k$$
и порожденное ими подпространство $S,$ то для любого вектора $x$ из $S$ имеет место неравенство
$$ \lambda_1 (x, x) \leqslant (Ax, x) \leqslant \lambda_k (x, x).$$
Действительно, пусть
$$ x = \xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_k e_k.$$
Так как $$ Ae_k = \lambda_k e_k, (e_k, e_k) = 1, (e_k, e_i) = 0 \text{при} i≠k, \text{то} (Ax, x) = (A, (\xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_k e_k), \xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_k e_k) = \\
= (\lambda_1 \xi_1 e_1 + \lambda_2 \xi_2 e_2 + ... + \lambda_k \xi_k e_k + \xi_2 e_2 + ... + \xi_k e_k) = \\
= \lambda_1 \xi_1^2 + \lambda_2 \xi_2^2 + ... + \lambda_k \xi_k^2.$$

Кроме того, так как векторы $e_1, e_2, ..., e_k$ ортогональны и нормированы, то
$$ (x, x) = \xi_1^2 + \xi_2^2 + ... + \xi_k^2$$
и, следовательно,
$$ (Ax, x) = \lambda_1 \xi_1^2 + \lambda_1 \xi_2^2 + ... + \lambda_k \xi_k^2 \geqslant \\
\geqslant \lambda_1 (\xi_1^2 + \xi_2^2 + ... + \xi_k^2) = \lambda_1 (x, x).$$
Аналогично
$$ (Ax, x) \leqslant (x, x)$$
и, следовательно,
$$ \lambda_1 (x, x) \leqslant (Ax, x) \leqslant \lambda_k (x, x).$$
Пусть теперь $R_k$ - произвольное подпространство $n-k +1$ измерений. Ранее мы говорили, что если сумма размерностей двух подпространств n-мерного пространства превышает $n,$ то существует отличный от нуля вектор, принадлежащий обоим подпространствам. Следовательно, так как $(n - k +1) + k >n, $ то существует вектор $x_0$, принадлежащий как $R_k,$ так и подпространству $S,$ порожденному векторами $e_1, e_2, ..., e_k.$ Мы можем считать, что длина его равна 1, т. е. что $(x_0, x_0) = 1.$ Так как всюду в $S,$ как мы уже доказали, $(Ax, x) \leqslant \lambda_k (x, x), $ то $(Ax_0, x_0) \leqslant \lambda_k.$

Итак, мы доказали, что в $ R_k$ существует вектор $x_0$ длины 1 такой, что
$$ (Ax_0, x_0) \leqslant \lambda_k.$$
Но тогда и подавно равно, минимум $(Ax, x),$ где $x$ пробегает все векторы длины 1 из $R_k,$ так же меньше или равен $\lambda_k.$

Таким образом, для любого $(n-k +1)$-мерного подпространства $R_k$
$$ min (Ax, x) \leqslant \lambda_k, $$
где $(x, x) = 1$ и $ x \in R_k.$

Заметим, что среди подпространств $R_k$ размерности $n-k+1$ есть такое, для которого $min (Ax, x), x \in R_k, (x, x) = 1, $ в точности равен $\lambda_k.$ Таким подпространством является подпространство, состоящее из векторов, ортогональных первым $k-1$ собственным векторам $e_1, e_2, ..., e_{k-1}.$ Действительно, в этом параграфе мы доказали, что $min (Ax, x),$ распространенный по всем векторам, ортогональным первым $k-1$ собственным векторам, равен $\lambda_k$.

Итак, мы доказали следующее:

Пусть $R_k$ - некоторое $(n-k +1)$-мерное подпространство пространства $R.$ Тогда минимум $(Ax, x)$ для всех $x$ из $R_k$ таких, что $(x, x) = 1,$ меньше или равен $\lambda_k.$ Подпространство $R_k$ можно выбрать так, чтобы этот минимум равнялся $\lambda_k.$

Это утверждение можно записать следующей формулой:
$$ max min (Ax, x) = \lamnda_k. \qquad (3) \\
R_k (x, x) = 1 \\
x \in R_k $$
В этой формуле $min$ берется по указанным векторам, а $max$ по всевозможным подпространствам $R_k$ размерности $n-k +1.$

Из доказанной теоремы следует:

Пусть $A$ - самосопряженное линейное преобразование, а $B$ - положительно определенное линейное преобразование. Пусть $ \lambda_1 \leqslant \lambda_2 \leqslant ... \leqslant \lambda_n$ - собственные значения $ A, $ а $\mu_1 \leqslant \mu_2 \leqslant ... \leqslant \mu_n$ - собственные значения $A + B$; тогда $ \lambda_k \leqslant \mu_k.$
Действительно, всюду
$$ (Ax, x) \leqslant ((A+B) x, x). $$
Следовательно, в любом $(n-k+1)$-мерном подпространствп $R_k$ имеет место неравенство:
$$ min (Ax, x) \leqslant min ((A+B)x, x). \\
(x, x) = 1 (x, x) = 1 \\
x \in R_k x \in R_k $$
Значит, максимум левой части по всевозможным подпространствам $R_k$ не превосходит максимума правой части. Так как в силу формулы (3) максимум левой части равен $\lambda_k$, а максимум правой равен $ \mu_k, $ то $ \lambda_k \leqslant \mu_k,$ что и требовалось доказать.

Перенесем полученные результаты на случай комплексного пространства.

Для этого на придется заменить лишь лемму 1 леммой.

Лемма 1. Пусть $B$ - самосопряженное преобразование в комплексном пространстве, и соответствующая ему эрмитова форма $(Bx, x)$ не отрицательна, т. е. т. е.
$$ (Bx, x) \geqslant 0 \text{для любых} x.$$
Тогда, если для некоторого $ e (Be, e) = 0, $ то и $ Be = 0.$

Доказательство. Пусть $t$ - произвольное вещественное число, а $h$ - вектор. Тогда
$$ (B (e+th), e+th) \geqslant 0,$$
или, так как $(Be, e) = 0,$ то
$$ t[(Be, h) + (Bh, e)] t^2 (Bh, h) \geqslant 0$$
для любого $t$. Отсюда следует, что
$$ (Be, h) + (Bh, e) = 0. \qquad (4) $$
Так как $h$ произвольно, то, заменяя $h$ на $ih$,получаем $(Be, ih) + (iBh, e) = 0$, т. е.
$$ -i (Be, h) + i(Bh, e) = 0. \qquad (5) $$
далее
$$ (Be, h) = 0,$$
и так как $h$ произвольно, то $ Be=0.$ Лемма доказана.

Все остальные теоремы этого параграфа и их доказательства переносятся на случай комплексного пространства без всяких изменений.