§19.2 Выделение подпространства, в котором преобразование A имеет только одно собственное значение

Пусть $ \lambda_1$- некоторое собственное значение преобразования $A.$ В этом пункте мы покажем, что пространство $R$ можно разложить в прямую сумму двух инвариантных подпространств, в первом из которых преобращование $A$ имеет лишь одно собственное значение $ \lambda_1,$ а во втором у преобразования $A$ уже нет собственного значения $\lambda_1.$

Не ограничивая общности, можно считать, что $ \lambda_1 = 0.$
Действительно, пусть $ \lambda_1 ≠ 0.$ Рассмотрим преобразование $ B = A - \lambda_1 E;$ оно уже имеет собственное значение, равное нулю *). Очевидно также, что инвариантные подпространствп преобразований $ A$ и $ B$ совпадают.

Итак, впредь мы будем считать, что преобразование $A$ имеет собственное значение $ \lambda = 0.$ Докажем наше утверждение сначала для частного случая, когда в пространстве нет присоединенных векторов, отвечающих этому собственному значению, а есть только собственные векторы **).

Нам нужно построить два инвариантных подпространства, прямая сумма которых равна $R.$ В качестве первого из них, в котором $ \lambda = 0$ есть единственное собственное значение, можно взять совокупность $ N_0$ всех собственных векторов, отвечающих собственному значению $ ,\lambda = 0 $ или, другими словами, ядро преобразования $ A.$

В качестве второго подпространствп возьмём образ $ M$ пространства $ R$ при преобразовании $A$, т. е. совокупность векторов $ y = Ax,$ где $x$ пробегает все пространство $R.$ Легко видеть, что каждое из этих подпространств инвариантно (это доказано в п. параграфа 9).

Докажем, что они дадут разложение пространства в прямую сумму. Так как сумма размерностей ядра и образа для любого преобразования $A$ равна $n$, то достаточно доказать, что пересечение этих подпространств равно нулю.

Предположим, что это не так, т. е. пусть существует вектор $ y ≠ 0$ такой, что $ y \in M$ и $ y \in N_0.$ Так как $ y \in M,$ то он имеет вид
$$ y = Ax, \qquad \qquad (6)$$
где $x$ - некоторый вектор из $R$. Так как $y \in N_0,$ то
$$ Ay = 0, \text{где} y ≠ 0. \qquad \qquad (7)$$

Равенство (7) означает, что $y$ есть собственный вектор преобразования $A,$ отвечающий собственному значению $ \lambda = 0,$ равенство (6) при этом означает, что $x$ есть присоединенным вектор первого порядка, отвечающий тому же собственному значению. Мы же предположили, что у преобразования $ A$ нет присоединенных векторов, отвечающих собственному значению $ \lambda = 0.$

Таким образом доказано, что подпространства $ M $ и $,N_0$ не имеют общих векторов кроме нулевого.

Вспоминая, что сумма размерностей образа и ядра равна $n,$ мы получаем отсюда, что пространство $R$ разложили в прямую сумму инвариантных подпространств $M$ и $ N_0.$
$$ R = M+N_0.$$

Замечание. Из приведенного выше доказательства видно, что образ и ядро имеют пересечение, отличное от нуля в том и только слуг, когда преобразование $ A$ имеет присоединенные векторы, отвечающие собственному значению $ \lambda = 0.$

Разобранный частный случай даёт нам идею того, как проводить доказательство в общем случае, когда $ A$ имеет также и присоединенные векторы, отвечающие собственному значению $ \lambda = 0.$ Подпространство $ N_0$ при этом оказывается слишком узким, и его естественно расширить за счёт добавления всех присоединенных векторов, отвечающих собственному значению $ \lambda = 0.$ Второе же подпространство $M$ оказывается при этом слишком большим ").

Итак, рассмотрим введённое в пункте 1 инвариантное подпространство $ N_0^p,$ состоящее из всех собственных и присоединенных векторов преобразования $ A,$ отвечающих собственному значению $ \lambda = 0.$ Как мы помним, оно является ядром преобразования $ A^p,$ т. е. состоит из всех векторов $x,$ для которых
$$ A^p x = 0.$$
В качестве второго слагаемого прямой суммы мы возьмём подпространство $ M^p$- образ пространства $R$ при том же преобразовании $ A^p.$

Легко видеть, что $ M^p$ также инвариантно относительно преобразования $A.$ Действительно, если $ y \in M^p, $ т. е. $ y = A^p x,$ то
$$ Ay = A^{p+1} x = A^p (Ax),$$
т. е. $ Ay $ также принадлежит $ M^p.$

Теорема. Пространство $R$ можно разложить в прямую сумму инвариантных подпространств $ N_0$ и $ M^p$. При этом Подпространство $ N_0^p$ состоит только из собственных и присоединенных векторов, отвечающих собственному значению $ \lambda = 0,$ а в подпространстве $ M^p$ преобразование $ A$ обратимо (т. е. $ \lambda = 0$ не является собственным значением преобразования $A$ в подпространстве $ M^p).$

Для доказательства первого утверждения нам, как и в рассмотренному выше частном случае, достаточно показать, что пересечение подпространств $ N_0^p$ и $M^p$ равно нулю.

Допустим противное, т. к. пусть существует вектор $ y ≠ 0$ такой, что $ y \in M^p$ и $ y \in N_0^p.$ Так как $ y \in M^p,$ то
$ y = A^p x. \qquad \qquad (8)$
Далее, так как $ y \in N_0^p, $ то
$$ A^p y = 0. \qquad \qquad (9)$$
Но из равенств (8) и (9) следует, что существует такой вектор $x$, для которого
$$ A^{2p} x = A^p y = 0.$$

Это значит, что $ x$ есть присоединенным вектор преобразования $ A$ с собственным значением $ \lambda = 0,$ не принадлежащий подпространству $ N_0^p,$ что невозможно, так как $ N_0^p$ состоит из всех таких векторов.

Таким образом, мы доказали, что пересечение $ N_0^p$ и $ M^p$ равно нулю. Так как сумма размерностей этих подпространств равна $n$ (это ядро и образ преобразования $ A^p),$ то отсюда следует, что пространство $R$ раскладывается в прямую сумму этих подпространств:
$$ R = M^p + N_0^p. \qquad \qquad (10)$$

Докажем теперь второе утверждение теоремы, т. е. что в подпространстве $ M^p$ преобразование $A$ не имеет нулевого собственного значения. Действительно, если бы это было не так, то в $ M^p$ существовал бы вектор $ x ≠ 0$ такой, что
$$ A^p x = 0.$$

Но это равенство означает, что $ x \in N_0^p,$ т. е. является общим вектором $ M^p$ и $ N_0^p$, мы доказали, что таким вектором может быть только нуль.
Теорема доказана.

Теперь мы можем освободиться от предположения, что выделенное подпространство отвечает нулевому собственному значению, и считать установленным следующий факт.

Если $ \lambda_1$ - некоторое собственное значение преобразования $A,$ то пространство $R$ можно разложить в прямую сумму инвариантных подпространств $ R_1$ и $ \overline{R},$ в первом из которых преобращование $ A$ имеет только собственное значение $ \lambda_1$, а во втором все собственные значения $ A$ отличны от $ \lambda_1.$

Применяя полученный результат к преобразованию $A$ в пространстве $ \overline{R}$ и к некоторому собственному значению $ \lambda_2$того преобразования мы "отщепим" инвариантное Подпространство, отвечающее собственному значению $ \lambda_2$. Продолжая этот процесс, пока не будут исчерпаны все собственные значения преобразования $A,$ мы получим доказательство следующей теоремы:

Теорем. Пусть преобразование $A$ пространства $R$ имеет $k$ различных собственных значений $ \lambda_1, ..., \lambda_k.$ Тогда $R$ можно разложить в прямую сумму $k$ инвариантных подпространств $ N_{\lambda_1}^{p_1}, ..., N_{\lambda_k}^{p_k}:$
$$ R = N_{\lambda_1}^{p_1} + N_{\lambda_k}^{p_k}. \qquad (11)$$

Каждое из подпространств $ N_{\lambda_i}^{p_i}$ состоит только из собственных и присоединенных векторов, отвечающих собственному значению $ \lambda_i.$

Другими словами, для каждого $i$ существует такое число $p_i,$ что для всех $ x \in N_{\lambda_i}^{p_i}$
$$ (A - \lambda_i E)^{pi} x = 0.$$

У нас осталась ещё только одна, впрочем, не менее важная задача - выбрать в каждом из этих подпространств базис, в котором матрица преобразования имеет жорданову нормальную форму. Это будет сделано в следующем пункте.