§19.3 Приведение к нормальной форме матрицы с одним собственным значением

В случае, если пространство состоит только из собственных векторов, базис в пространстве можно выбирать произвольно и матрица преобразования в этом базисе имеет диагональный вид.

В общем случае неосторожный выбор базиса может запутать картину.

Чтобы выбрать базис, в котором матрица преобразования имеет наиболее простой вид, мы будем тянуть цепочки собственных и присоединенных векторов, выбрав некоторый базис в подпространстве $ N^p$ и последовательно применяя к векторам этого базиса преобразование $A.$

Введем предварительно некоторые понятия, удобные для дальнейшего.

Определение 4. Векторы из пространства $R$ называются относительно линейной независимыми над подпространством $R_1,$ если никакая их линейная комбинация, отличная от нуля, не принадлежит $R_1.$

Заметим, что всякие линейно зависимые векторы из $R$ относительно линейно зависимы над любым подпространством.

Определение 5. Базисом пространства $R$ относительно подпространства $ R_1$ называется такая система $ e_1, ..., e_k$ линейно независимых векторов из $ R,$ которая после пополнения каким-нибудь базисом из $R_1$ образует базис во всем пространстве.

Такой базис легко построить. Для этого достаточно выбрать какой-нибудь базис в $R_1$, дополнить его до базиса во всем пространстве и затем отбросить вектор исходного базиса из $R_1.$ Число векторов в таком относительном базисе равно разности размерностей пространства и подпространства.

Всякую систему относительно линейно независимых векторов над $R_1$ можно дополнить до относительного базиса. Для этого нужно к выбранным векторам добавить какой-нибудь базис подпространства $R_1$. Получится некоторая система векторов из $R,$ которые, как легко проверить, линейно независимы. Чтобы получить относительный базис, нужно дополнить эту систему до базиса во всем пространстве $R,$ а затем отбросить базис подпространства.

Итак, пусть преобразование $A$ в пространстве $R$ имеет только одно собственное значение. Не ограничивая общности, можно предположить, что оно равно нулю.

Рассмотрим снова цепочку подпространств, полученных ранее:
$$ 0 \in N_0^1 \in ... \in N_0^p = N_0^{p+1} = ..., $$
где подпространство $ N_0^k$ есть ядро преобразования $ A^k.$ Так как преобразование $A$ в пространстве $R$ не имеет отличных от нуля собственных значений, то, очевидно $N^p$ совпадает при этом со всем пространством $R.$

Выберем в максимальном из этих подпространств $N_0^p$ базис относительно содержащегося в нем подпространства $ N_0^{p-1}.$ Пусть векторы этого базиса будут
$$ e_1, ..., e_q.$$

Очевидно, что это будут присоединенные векторы $(p-1)$-го порядка.Мы уже видели, что $ AN_0^p = N_0^{p-1}.$ Поэтому векторы
$$ Ae_1, ..., Ae_q$$
лежат в $ N_0^{p-1}$. Покажем, что эти векторы линейно независимы в $ N_0^{p-1}$ относительно лежащего в нем подпространства $ N_0^=p-2}.$ Действительно, пусть не все $ \alpha_i = 0$ и
$$ \alpha_1 Ae_1 + ... + \alpha_1 Ae_q = A(\alpha_1 e_1 + ... + \alpha_q e_q) \in N_0^{p-2} $$
Тогда вектор $ x = \alpha_1 e_1 + ... + \alpha_q e_q \in N_0^{p-1},$ а это противоречит предположению, что векторы $ e_1, ..., e_q$ линейно независимы над $ N_0^{p-1}.$

Дополним вектор $ Ae_1, ..., Ae_q$ до базиса в $ N_0^{p-1}$ относительно $ N_0^{p-2}.$ Мы получим тогда $ q+s$ векторов
$$ Ae_1, ...., Ae_q, f_1, ..., f_s, $$
которые представляют собой максимальное число линейно независимых присоединенных векторов порядка $p-2.$
Снова применим к этим векторам преобразование $A$ и полученную систему векторов из $ N_0^{p-2}$ дополним, как и выше, до базиса в $ N_0^{p-2}$ относительно $ N_0^{p-3}.$

Продолжая этот процесс, мы дойдем до подпространства $ N_0^{1}$ и выберем базис в этом пространстве, состоящий из максимального числа линейно независимых собственных векторов.

Расположим полученные векторы в следующую таблицу
$$ e_1 ... e_q \\
Ae_1 .... Ae_q f_1 .... f_3 \\
A^2 e_1 .... A^2 e_q Af_1 .... Af_s \qquad \qquad (12) \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \\
A^{p-1} e_1 .... A^{p-1} e_q A^{p-2} f_1 .... A^{p-2} f_3 ... h_1 .... h_r $$

Векторы нижней строчки образуют базис в подпространстве $ N_0^1.$ Векторы двух нижних строк образуют базис в $ N_0^2,$ так как это есть базис $ N_0^2$ относительно $ N_0^1$ в соединении с базисом $ N_0^1.$ Векторы трёх нижних строк образуют базис в $ N_0^3$ и т. д. Наконец все векторы таблицы образуют базис в $ N_0^p$, т. е. во всем пространстве $R.$

Покажем, что в этом базисе матрица преобразования $A$ имеет жорданову нормальную форму. Действительно, рассмотрим произвольный столбец таблицы, например, для определения первый.

Обозначим для удобства $ A^{p-1} e_1$ через $ \overline{e_1}, A^{p-2} e_1 $ - через $ \overline{e_2}$ и т. д. и рассмотрим действие преобразования $ A$ на каждый из этих векторов. Так как $ \overline{e_1}$ - собственный вектор, отвечающий нулевому собственному значению, то
$$ A \overline{e_1} = 0. $$
Дальше, по определению,
$$ A \overline{e_2} = AA^{p-2} e_1 = A^{p-1} e_1 = \overline{e_1} $$
и аналогично
$$ A \overline{e_3} = \overline{e_2}, \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . \\
A \overline{e_p} = \overline{e_{p-1}}. $$

Таким образом, преобразование $A$ переводит векторы первого столбца снова в себя, т. е. подпространство $R_1$, натянутое на эти векторы, инвариантно относительно $A.$ Матрица преобразования $A$ в подпространстве $R_1$ в базисе $ \overline{e_1}, ..., \overline{e_p}$ имеет вид
$$ \begin{vmatrix}
0 & 1 & 0 .... 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 ... 0 & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0 ... 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 ... 0 & 0
\end{vmatrix} \qquad (13)$$
т. е. это есть жорданова клетка, отвечающая собственному значению $ \lambda = 0.$ Аналогичное инвариантное подпространство отвечает каждому из столбцов таблицы, и размерность каждого такого подпространствп равна числу векторов в соответствующем столбце. Так как матрица преобразования $ A$ в базисе, состоящем из векторов какого-либо столбца, имеет вид (13), то матрица преобразования во всем пространстве $R$ в базисе, состоящем из всех векторов таблицы, состоит из жордановых клеток, число которых равно числу столбцов в этой таблице, а размер каждой клетки равен числу векторов соответствующего столбца.

Если вместо преобразования $A$ рассмотреть преобразование $ A + \lambda_1 E,$ то, так как матрица преобразования $ \lambda_1 E$ диагональна, мы получим тот же результат для преобразования пространства $ R,$ имеющего только одно собственное значение, равное произвольному числу $ \lambda_1.$ Соответствующие жордановы клетки матрицы преобразования $ A + \lambda_1 E$ будут иметь вид:
$$ \begin{vmatrix}
\lambda_1 & 1 & 0 ... 0 \\
0 & \lambda_1 & 1 ... 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0 ... \lambda_1
\end{vmatrix} \qquad (14)$$

Вспоминая теперь, что для произвольного преобразования $A$ мы можем разложить пространство $R$ в сумму инвариантных подпространств, в каждом из которых преобращование $ A$ имеет только одно собственное значение, мы получаем отсюда полное доказательство теоремы.