§20.1 Другое доказательство теоремы о приведении к нормальной форме

Это доказательство мы будем вести по индукции, именно предположим, что для линейного преобразования в пространстве $n$ измерений такой базис существует, и докажем, что мы можем найти нужный базис в пространстве $n+1$ измерений. Для доказательства теоремы нам понадобится следующая

Лемма. У всякого линейного преобразования $A$ в n-мерном комплексном пространстве $R$ существует хотя бы одно $(n-1)$)-мерное инвариантное подпространство $R'.$

Доказательство. Рассмотрим преобразование $A*;$ у него, как и у всякого преобразования, есть собственный вектор $e$
$$ A^* e = \lambda e. $$

Покажем, что $(n-1)$-мерное подпространство $R',$ состоящее из векторов $x,$ ортогональных *) $e,$ т. е. для которых $ (x, e) = 0,$ инвариантно относительно $A.$ Действительно, пусть $ x \in R',$ т. е. $ (x, e) = 0.$ Тогда
$$ (Ax, e) = (x, A^* e) = (x, \lambda e) = 0$$
и, значит, $ Ax$ также принадлежит $ R'.$ Инвариантность подпространства $ R'$ относительно преобразований $A$ доказана.

Докажем теперь сформулированную выше основную теорему этого параграфа.

Пусть $A$- произвольное линейное преобразование в $(n+1)$- мерном пространстве $R.$ Согласно лемме, в $R$ существует n-мерное подпространство $R',$ инвариантное относительно $A.$ Так как в n-мерном пространстве мы предполагаем теорему доказанной, то в $R'$ существует базис, в котором линейное преобразование имеет нормальную форму. Обозначим этот базис в $R'$ через
$$ e_1, e_2, ..., e_p; f_1, f_2, ... , f_q; ... ; h_1, h_2, ..., h_3, $$
где $ p + q + ... + s = n.$ В этом базисе линейное преобразование в n-мерном подпространстве $R'$ имеет вид
$$ Ae_1 = \lambda_1 e_1, \\
Ae_2 = e_1 + \lambda_1 e_2, \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\
Ae_p = e_{p-1} + \lambda_1 e_p, \\
Af_1 = \lambda_2 f_1, \\
Af_2 = f_1 + \lambda_2 f_2, \\
Af_q = f_{q-1} + \lambda_2 f_q, \\
Ah_1 = \lambda_k h_1, \\
Ah_2 = h_1 + \lambda_k h_2, \\
. . . . . . . . . . . . . . . \\
Ah_s = h_{s-1} + \lambda_k h_s.$$

Дополним этот базис каким-нибудь вектором $e,$ который вместе с $ e_1, e_2, ..., e_p; f_1, f_2, ..., f_q; ....; h_1, h_2, ...., h_s$ составляет базис в $R.$

Применим к $e$ преобразование $A$ и разложим полученный вектор $Ae$ по векторам базиса:
$$ Ae = \alpha_1 e + ... + \alpha_p e_p + \beta_1 f_1 + ... + \beta_q f_q + ... \\
... + \zeta h_1 + ... + \zeta_s h_s + \gamma e "). $$
Мы можем считать, что $ \gamma = 0.$ В самом деле, если в некотором базисе $A$ имеет нормальную форму, то $ A - \gamma E$ также имеет в этом базисе нормальную форму. Поэтому, если $ \gamma ≠ 0,$ то можно вместо преобразования $A$ рассмотреть преобразование $ A - \gamma E,$ причем $ A$ и $ A - \gamma E,$ согласно сделанному замечанию, имеют нормальную форму в одном и том же базисе.

Мы полагаем, следовательно, что
$$ Ae = \alpha_1 e_1 + ... + \alpha_p e_p + \beta_1 f_1 + ... \\
... + \beta_q f_q + ... + \zeta_1 h_1 + ... + \zeta_s h_s. \qquad (1)$$

Теперь постараемся заменить вектор $e$ вектором $e'$ так, чтобы после этой замены вектор $Ae'$ стал возможно проще. Будем искать вектор $e'$ в виде
$$ e' = e - x_1 e_1 - ... - x_p e_p - \mu_1 f_1 - ... \\
... - \mu_q f_q - ... - w_1 h_1 - ... - w_s h_s. \qquad \qquad (2)$$
Мы имеем
$$ Ae' = Ae - A(x_1 e_1 + ... + x_p e_p) - \\
- A(\mu_1 f_1 + ... + \mu_q f_q ) - ... - A(w_1 h_1 + ... + w_s h_s), $$
или
$$ Ae' = \alpha_1 e_1 + ... + \alpha_p e_p + \beta_1 f_1 + ... + \beta_q f_q + ... \\
... + \zeta_1 h_1 + ... + \zeta_s h_s - A(x_1 e_1 + .... + x_p e_p) - \\
- A(\mu_1 f_1 + ... + \mu_q f_q) - ... - A(w_1 h_1 + ... + w_s h_s). \qquad (3)$$

Коэффициенты $ x_1, ..., x_p; \mu_1, ..., \mu_q; ....; w_1; ...., w_s$ мы можем выбирать произвольно. Подберём из так, чтобы в правой части формулы (3) осталось как можно меньше слагаемых.

Мы знаем, что каждой группе базисных векторов n-мерного подпространства $R'$, в котором преобразование $A$ имеет нормальную форму, отвечает свое собственное значение $ \lambda_1, \lambda_2$ и т. д. Мы рассмотрим отдельно два случая, а именно разберём сначала случай, когда ни одно из этих собственных значений не равно нулю, а затем случай, когда это не так.

Разберём первый случай, когда $ \lambda_1 ≠ 0, \lambda_2 ≠ 0, ..., \lambda_k ≠ 0.$ В этом случае, мы покажем, что вектор $ e'$ можно так, чтобы $ Ae' = 0,$ т. е. подобрать $x_1, ...., w_s$ так, чтобы все слагаемые в правой части сократились. Так векторы каждой группы переходят при преобразовании в комбинацию вектор той же группы, то векторы различных групп можно уничтожать независимо друг от друга. Покажем, как подобрать коэффициенты $ x_1, x_2, ..., x_p, $ чтобы в правой части сократились векторы $ e_1, e_2, ..., e_p.$ Члены, содержащие эти векторы, имеют вид
$$ \alpha_1 e_1 + ... + \alpha_p e_p - A(x_1 e_1 + ... + x_p e_p) = \\
= \alpha_1 e_1 + ... + \alpha_p e_p - x_1 \lambda_1 e_1 - \\
- x_2 (e_1 + \lambda_1 e_2) - ... - x_p (e_{p-1} + \lambda_1 e_p) = \\
= (\alpha_1 - x_1 \lambda_1 - x_2) e_1 + (\alpha_2 - x_2 \lambda_1 - x_3) e_2 + ... \\
... + (\alpha_{p-1} - x_{p-1} \lambda_1 - x_p) e_{p-1} + (\alpha_p - x_p \lambda_1) e_p.$$

Приравнивания нулю коэффициент при $e_p,$ определяем $ x_p,$ что возможно, так как $ \lambda_1 ≠ 0,$ затем, приравнивая нулю коэффициент при $e_{p-1}$, определяем $x_{p-1}$ и так далее до $x_1.$ Таким образом, мы уничтожили члены с $e_1, e_2, ..., e_p.$ Аналогично вычисляем другие группы коэффициентов.

Мы получили, таким образом, вектор $e',$ для которого
$$ Ae' = 0.$$
Добавляя этот вектор к имеющемуся базису, получаем базис $ e', e_1, e_2, ..., e_p; f_1, f_2, ..., f_q; ... ; h_1, h_2, ..., h_s $ в $(n+1)$ - мерном пространстве, в котором преобразование имеет канонический вид. Вектор $e'$ образует при этом отдельную группу с собственным значением, равным нулю (следовательно, с собственным значением $gamma,$ если бы мы не рассматривали вместо $ A$ преобразование $A- \gamma E).$

Рассмотрим теперь второй случай, а именно пусть некоторым группам векторов базиса в n-мерном пространстве $R'$ соответствует собственные значения преобразования $A,$ равные нулю. Тогда в правой части формулы у нас будут слагаемые двух сортов - соответствующие группам с отличным от нуля собственным значением и группам, для которых собственное значение равно нулю. С группами, у которых собственные значения отличны от нуля, мы можем поступить так же, как и в первом случае, т. е. подбором коэффициентов уничтожить векторы в правой части. Допустим, что после этой операции у нас останутся, например, три группы слагаемых $e_1, e_2, ..., e_p; f_1, f_2, ..., f_q; g_1, g_2, ..., g_r$ с собственным значением, равным нулю, т. е. что $ \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0.$ Тогда
$$ Ae' = \alpha_1 e_1 + ... + \alpha_p e_p + \beta_1 f_1 + ... + \beta_q f_q + \gamma_1 g_1 + ... \\
... + \gamma g_r - A(x_1 e_1 + ... + x_p e_p) - \\
- A(\mu_1 f_1 + ... + \mu_q f_q) - A(v_1 g_1 + ... + v_r g_r). \qquad (4)$$
Так как $ \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0, $ то
$$ Ae_1 = 0, Aw_2 = e_1, ..., Ae_p = e_{p-1}, \\
Af_1 = 0, Af_2 = f_1, ..., Aff_q = f_{q-1}, \\
Ag_1 = 0, Af_2 = g_1, ..., Ag_r = g_{r-1}.$$

Поэтому линейная комбинация векторов $e_1, e_2, ..., e_p,$ входящая в правую часть равенства (4) будет иметь вид
$$ \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + ... + \alpha_p e_p - x_2 e_1 - x_3 e_2 - ... - x_p e_{p-1}. $$

Полагая $x_2 = \alpha_1, x_3 = \alpha_2, ..., x_p = \alpha_{p-1},$ мы уничтожим здесь все слагаемые кроме одного равного $ \alpha_p e_p.$ Проделав ту же операцию в группах $ f_1, ..., fq$ и $ q_1, ..., g_r,$ мы получим вектор $ e',$ для которого
$$ Ae' = \alpha_p e_p + \beta_q f_q + \gamma_r g_r. $$

Случайно может оказаться, что $ \alpha_p = \beta_q = \gamma_r = 0;$ тогда мы приходим к вектору $e'$, для которого
$$ Ae' = 0,$$
и тогда, как и в первом случае, наше преобращование уже в базисе $ e', e_1, ..., e_p; f_1, ..., f_q, ..., h_1, ..., h_s$ имеет нормальную форму. Вектор $e'$ в этом случае образует новую клетку с собственным значением, равным нулю.

Пусть теперь хотя бы один из коэффициентов $ \alpha_p, \beta_q, \gamma_r$ отличен от нуля. В этом случае, в отличие от рассмотренного ранее, нам придется для приведения к нормальной форме также изменить некоторые из векторов базиса, уже имеющегося в $ R'.$ Расположим числа $ p, q, r$ по их величине. Пусть, например, $ p > q > r.$ Тогда строим новую группу, начиная с $e'$, следующим образом. Полагаем $ e'_{p+1} = e', e'_p = Ae'_{p+1}, e'_{p-1} = Ae'_{p}, ..., e_1' = Ae_2'.$ Мы имеем, следовательно,
$$ e'_{p+1} = e' \\
e_p' = Ae_{p+1}' = \alpha_p e_p + \beta_q f_q + \gamma_r g_r, \\
e_{p-1}' = Ae_p' = \alpha_p e_{p-1} + \beta_q f_{q-1} + \gamma_r g_{r-1}, \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\
e_{p-r+1}' = Ae_{p-r+2}' = \alpha_p e_{p-r+1} + \beta_q f_{q-r+1} + \gamma_r g_1, \\
e_{p-r}' = Ae_{p-r+1}' = \alpha_p e_{p-r} + \beta_q f_{q-r}, \\
.................................. \\
e_1' = Ae_2' = \alpha_p e_1.$$

Заменим теперь векторы $ e', e_1, e_2, ..., e_p$ базиса векторами
$$ e_1', e_2', ..., e_p', e_{p+1}', $$
а остальные оставим без изменения. Мы получим тогда нормальную форму преобразования, причем размеры первой клетки увеличились на единице. Теорема полностью доказана.

Мы видим, что в процессе посторонние нормальной формы нужно было различать два случая.

1. Случай, когда добавленное собственное значение $\gamma$ (мы его полагали равным нулю) не совпадает ни с одним из прежних собственных значений $ \lambda_1, ..., \lambda_k.$ В этом случае добавлялась отдельная клетка первого порядка.

2. Случай, когда добавленное собственное значение совпадало с одним из уже имевшихся. В этом случае, вообще говоря, размер одной из имевшихся клеток увеличивался на 1. Если же коэффициенты $ \alpha, \beta, \gamma$ равны нулю, то, как и в первом случае, добавлялась новая клетка.