§23.1 Определение сопряженного пространства

Пусть $R$ - линейное пространство. Одновременно с $R$ часто рассматривают другое, тесно связанное с ним пространство, так называемое сопряженное пространство. Для того чтобы сформулировать определение сопряженного пространства, вернёмся к понятию линейной функции, введенному нами в п. 1 параграфа 4.

Линейной функцией мы назвали функцию $ f (x), x \in R,$ удовлетворяющую следующим условиям:
1° $ f(x + y) = f(x) + f(y),\\
2° f(\lambda x) = \lambda f (x).$
Пусть $ e_1, e_2, ..., e_n$- базис в n-мерном пространстве $R.$
Если
$$ x = \xi^1 e_1 + \xi^2 e_2 + ... + \xi^n e_n $$
-вектор из $R$, то линейная функция в $ R$ может быть записана в виде (см. параграф 4)
$$ f (x) = f(\xi^1 e_1 + \xi^2 e_2 + ... + \xi^n e_n ) = \\
= a_1 \xi^1 + a_2 \xi^2 + ... + a_n \xi^n, \qquad \qquad (1)$$
где коэффициенты $ a_1, a_2, ..., a_n,$ определяющие линейную функцию, вычисляются по формулам
$$ a_1 = f(e_1), a_2 = f(e_2), ..., a_n = f(e_n). \qquad (2)$$
Как это ясно из формулы (1), при заданном базисе $ e_1, e_2, ..., e_n$ всяким $n$ числами $ a_1, a_2, ..., a_n$ отвечает линейная функция, притом только одна.

Пусть $f$ и $g$ - линейные функции. Их суммой называется функция $h,$ ставящая в соответствие каждому вектору $x$ число $ f (x) + g(x)$. Произведением линейной функции $f$ на число $\alpha$ называется функция, ставящая в соответствие каждому вектору $x$ число $ \alpha f (x).$

Очевидно, что сумма линейных функций и произведение линейной функции на число есть снова линейная функция. При этом, если линейная функция $f$ задаётся числами $a_1, a_2, ..., a_n$, а $&$- числами $b_1, b_2, ..., b_n,$ то $ f + g$ задаётся числами $a_1 + b_1, a_2 + b_2, ..., a_n + b_n, $ а $ \alpha f$- числами $ aa_1, aa_2, ..., aa_n.$

Таким образом, множество заданных в $R$ линейных функций образует линейное пространство.

Определение 1. Пусть $R$ есть n-мерное пространство. Пространством $ R',$ сопряженным к $R$, мы назовем линейное пространство, векторами которого являются линейные функции, заданные в $R$. Сумма в $R'$ определяется как сумма линейных функций, а произведение вектора из $R'$ на число - как произведение линейной функции на число.

Так как при заданном базисе $e_1, e_2, ..., e_n$ в пространстве $R$ каждая линейная функция однозначно задаётся системой $n$ чисел $ a_1, a_2, ..., a_n$ причем сумме функций отвечает сумма чисел, произведению функции на $ \alpha$ произведение чисел $a_i$ на $ \alpha$, то ясно, что $R'$ изоморфно пространству, в котором вектор определен как совокупность $n$ чисел.

Значит, пространство $R'$, сопряженное к n-мерному пространству $R,$ также n-мерно.

Если пространства $R$ и $R'$ рассматривают одновременно, то векторы из $ R$ называются контравариантными, а векторы из $R'$ ковариантными. В дальнейшем символы $x, y, ...$ будут означать элементы из $ R,$ т. е. конравариантные векторы, а $ f, g, ... $ - элементы из $ R'$, т. е. ковариантные векторы.