§23.4 Преобразования координат в $R$ и $R'.$

Если мы рассматриваем координаты векторов $ x \in R$ в некотором базисе $e_1, e_2, ..., e_n$, то координаты векторов $ f \in R'$ мы будем, как правило рассматривать в базисе $ f^1, f^2, ..., f^n$, взаимном к базису $ e_1, e_2, ..., e_n.$ Перейдем в $ R$ от базиса $ e_1, e_2, ..., e_n$ к новому базису $ e_1', e_2', ..., e_n',$ и пусть
$$ e_i' = c_i^k e_k \qquad \qquad (6)$$
- формулы перехода.
Обозначая через $f^1, f^2, ..., f^n$ базис, взаимный с базисом $ e_1', e_2,' ...., e_n',$ найдем матрицу $ || b_i^k||$ перехода от базиса $ f^i$ к базису $ f^i$.
Найдем сначала обратную ей матрицу $ || u_i^k||$ перехода от $ f^1, f^2, ..., f^n$ к $ f^1, f^2, ..., f^n:$
$$ f^k = u_i^k f^i. \qquad (6')$$
Для этого вычислим двумя способами выражение $ (f^k, e_i):$
$$ (f^k, e_i) = (f^k, c_i^a e_a) = c_i^a (f^k, e_a) = c_i^k, \\
(f^k, e_i) = (u_i^k, e_i) = u_i^k.$$
Отсюда имеем $ c_i^k = u_i^k,$ т. е. матрица $ || u_i^k||$ является транспортированной к матрице перехода. Следовательно, матрица перехода
$$ f'^k = b_i^k = b_i^k f^i \qquad \qquad (7)$$
от $ f^1, f^2, ..., f^n$ к $ f^1, f^2, ..., f^n$ равна матрице, транспортированной к матрице, обратной матрице $ || c_i^k||$ перехода от $ e_1, e_2, ..., e_n$ к $ e_1', e_2', ..., e_n'$.

Выясним теперь, как преобразуются координаты векторов в $ R$ и $ R'$. Пусть $ \xi^i$- координаты вектора $ x \in R$ в базисе $ e_1, e_2, ..., e_n$ и $ \xi^i$ - его координаты в новом базисе.
Тогда
$$ (f^i, x) = (f^i, \xi^1 e_1 + \xi^2 e_2 + ... + \xi^n e_n) = \xi^i$$
И
$$ (f^i, x) = (f^i, \xi^1 e_1+ \xi^2 e_2+ ... + \xi^n e_n) = \xi^i.$$
Поэтому
$$ \xi^i = (f^i, x) = (b_k^i f^k, x) = b_k^i (f^k, x) = b_k^i \xi^k. $$
Итак,
$$ \xi^i = b_k^i \xi^k, \qquad \qquad (8)$$
т. е. координаты векторов в $R$ преобразуются по тем же формулам, что и векторы взаимного базиса в $R'$. Аналогично, координаты векторов в $R'$ преобразуются по тем же формулам, что и векторы взаимного базиса в $R,$ т. е.
$$ \eta_i = c_i^k \eta_k. \qquad \qquad (9)$$

Мы можем, таким образом, сформулировать следующее правило: при переходе от старой системы координат к новой объекты, имеющие нижний индекс, преобразуются матрицей $ || c_i^k||,$ объекты, имеющие верхний индекс, преобращуются матрицей $ ||b_i^k||,$ обратной к $ ||c_i^k||.$

То факт, что матрица $ ||b_i^k||$ является обратной к матрице $ ||c_i^k||,$ выражается соотношениями
$$ c_i^a b_a^i = \zeta_i^j, b_i^a c_a^i = \zeta_i^j. $$