§23.5 Пространство, сопряженное к евклидову.

Ограничимся для простоты евклидовых пространством над полем действительных чисел.

Лемма. Пусть $R$ есть n-мерное евклидово пространство. Тогда каждую линейную функцию в нем можно записать в виде
$$ f(x) = (x, y),$$
где $y$ - фиксированный вектор, однозначно определяемый линейной функцией $f.$ Обратно, каждый вектор $y$ определяет линейную функцию $ f (x) = (x, y).$

Доказательство. Выберем в $ R$ некоторый ортогональный нормированный базис $ e_1, e_2, ..., e_n$. Линейная функция $f(x)$ в этом базисе может быть записана в виде
$$ f(x) = a_1 \xi^1 + a_2 \xi^2 + ... + a_n \xi^n.$$
Введем вектор $y$ с координатами $ a_1, a_2, ..., a_n$. Так как базис $ e_1, e_2, ..., e_n$ - ортогональный, то
$$ (x, y) = a_1 \xi^1 + a_2 \xi^2 + ... + a_n \xi^n.$$
Мы доказали, таким образом, существование такого вектора $y,$ что для любого $x$ имеет место равенство
$$ f(x) = (x, y).$$
Докажем теперь, что такой вектор определяется однозначно. Пусть
$$ f(x) = (x, y_1) f(x) = (x, y_2).$$
Тогда
$$ (x, y_1) = (x, y_2), = 0$$
т. е.
$$ (x, y_1 - y_2) = 0$$
для любого $x.$ Следовательно, $ y_1 - y_2 = 0.$ Однозначность доказана.

Таким образом, в случае евклидова пространства мы можем каждый элемент $f$ из $ R'$ заменить соответствующим элементом $y$ из $R$ и при это вместо $ (f, x)$ писать $(y, x).$ Так как при одновременном изучении пространства и сопряженного пространства мы употребляем лишь обычные для векторов операции и операцию $ (f, x),$ связывающую элементы $ f \in R'$ и $ x \in R,$ то мы можем в случае евклидова пространства заменить $f$ на $y$, $ R'$ на $R$ и $ (f, x)$ на $ (y, x),$ т. е. отождествить евклидово пространство с сопряженным к нему пространством $ R'$) Это выражают иногда и так: в евклидовом пространстве можно заменить ковариантные векторы контравариантными.

При таком отождествлении пространства $R$ и сопряженного к нему пространства $ R'$ понятие ортогональности векторов $ x \in R$ и $ f \in R'$, введённое ранее, переходит в обычное для евклидова пространства понятие ортогональности двух векторов из $R.$

Пусть $ e_1, e_2, ..., e_n$ - произвольный базис в $R,$ а $ f^1, f^2, ..., f^n$ - взаимный с ним (биортогональный) базис в $R'$. Так как в случае евлидова пространства $ R$ и $ R'$ отождествлены, то мы можем считать векторы биортогонального к $ e_i$ базиса $ f^k$ также векторами из $R.$

Выясним, как найти случае по базису $ e_1, e_2, ..., e_n$ базис $ f^1, f^2, ..., f^n.$ Выразим сначала $e_i$ через $ f^k:$
$$ e_i = g_{ik} f^k.$$
Нам нужно найти коэффициенты $ g_{ik}.$ Для этого умножим скалярно обе части равенства на $e_n:$
$$ (e_i, e_n) = g_{ik} (f^k, e_a).$$
Так как, в силу взаимности (биортогональности) базисов $ f^k$ и $e_a,$
$$ (f^k, e_a) = \zeta_a^k, $$
то
$$ (e_i, e_1) = g_{ik} \zeta_a^k = g_{ia}.$$
Итак, если базис $ f^k$ биортогонален к базису $ e_i,$ то
$$ e_i = g_{ik} f^k, \qquad (10)$$
где матрица $ g_{ik}$ вычисляется по формуле
$$ g_{ik} = (e_i, e_k).$$
Отсюда, разрешив соотношение (10) относительно $ f'$, имеем:
$$ f^i = g^{ik} e_k, \qquad \qquad (11)$$
где $ g^{ik}$ - матрица, обратная к $ &g_{ik}, $ т. е.
$$ g^{ia} g_{ak} = \zeta_k^i.$$
Упражнение. Показать, что
$$ g^{ik} = (f', f^k).$$