§24.1 Полилинейные функции
Primary tabs
Forums:
В первой главе мы изучили линейные и билинейные функции в $n$-мернос аффинном пространстве. Их естественным обобщением являются Полилинейные функции, зависящие от произвольного числа векторов. При этом мы будем рассматривать функции, зависящие как от векторов из $ R,$ так и от векторов из $ R'.$
Определение 1. Полилинейной функцией
$$ l(x, y, ...; f, g, ...),$$
зависящей от $p$ векторов $x, y, ... \in R$ и $ q$ векторов $ f, g, ... \in R' (R'$ - пространство, сопряженное к $ R),$ называется функция, линейная относительно каждого из аргументов, когда остальные аргументы фиксированы.
Например, если зафиксированы все векторы, кроме первого, то
$$ l(x' + x'', y, ...; f, g, ... ) = \\
= l(x', y, ...; f, g, ... ) + l(x'', y, ...: f, g, ...), \\
l(\lambda x, y, ...; f, g, ...) = \lambda l (x, y, ...; f, g, ...).$$
Аналогично
$$ l(x, y, ...; f' + f'', g, ...) =\\
= l(x, y, ..., ; f', g, ...) + l(x, y, ...; f'', g, ...), \\
l(x, y, ...; \mu f, g, ...) = \mu l (x, y, ...; f, g, ...). $$
То же самое и для других аргументов.
Полилинейную функцию, зависящую от $p$ векторов из $ R$ (контравариантных векторов) и $q$ векторов из $ R'$ (ковариантные векторов) мы будем называть полилинейной функцией типа $ (p, q).$ Рассмотрим некоторые Полилинейные функции.
Простейшие Полилинейные функции - это функции типа $ (1, 0)$ и типа $ (0, 1).$
Полилинейную функция типа $ (1, 0)$ - это линейная функция от одного вектора в пространстве $ R,$ т. е. вектор пространства $ R'$ (ковариантные вектор).
Аналогично было указано в пункте 3 предыдущего параграфа, полилинейная функция типа $ (p, 1)$ задаёт вектор из $ R$ (контравариантных вектор).
Полилинейные функции, зависящие от двух векторов (билинейные функции), бывают трёх типов:
$\alpha$) функции, зависящие от двух векторов из пространства $ R, $ - это введённые в параграфе 4 билинейные функции в пространстве $R.$
$\beta$) функции, зависящие от двух векторов в пространстве $ R'$, - это билинейные функции в $ R';$
$\gamma$) функции, зависящие от одного вектора из $ R$ и одного вектора из $ R'$.
Функции третьего типа тесно связаны с линейными преобразованиями. Действительно, пусть
$$ y = Ax$$
- линейное преобразование в $ R.$ Построим билинейную функцию
$$ (f, Ax),$$
линейно зависящую от векторов $ x \in R$ и $ f \in R'.$
Мы можем, таким образом, каждому линейному преобразованию в $ R$ однозначно сопоставить билинейную функцию типа $ \gamma).$
Так же можно доказать, что каждой билинейной функции типа $ \gamma $) отвечает линейное преобразование в $ R$.
- Log in to post comments
- 6779 reads