§24.2 Выражения для полилинейной функции в данной системе координат. Переход от одной системы координат к другой

Выясним, как выражается полилинейная функция через координаты тех векторов, от которых она зависит. Для того чтобы не писать слишком длинных формул, проведем рассмотрение на случае полилинейной функции $ l (x, y ; f),$ зависящей от двух векторов из $R$ и одного вектора из $ R'$ [функция типа (2, 1)].

Выберем в $ R$ некоторый базис $ e_1, e_2, ..., e_n$ а в $ R'$ - взаимный с ним базис $ f^1, f^2, ..., f^n.$ Пусть
$$ x = \xi^i e_i, y= \eta^i e_j, f=\phi_k f^k.$$
Тогда
$$ (x, y; f) = l (\xi^i e_i, \eta^i e_j; \phi_k f^k) = \xi^i \eta^i \phi_k l (e_i, e_j; f^k).$$
Итак: при заданных в $R$ и соответственно в $ R'$ базисах $ e_1, e_2, ..., e_n$ и $ f^1, f^2, ..., f^n$ полилинейная функция $ (x, y; f)$ записывается в виде
$$ l(x, y; f) = a_i^k \xi^i \eta^i \phi_k, $$
где $\xi^i,$ соответственно $ \eta^i, $ соответственно $ \phi_k$-координаты вектора $ x$, соответственно $y,$ соответственно $ f.$ Числа $ a_{ij}^k,$ определяющие функцию $ l(x, y; f),$ задаются формулой
$$ a_{ij}^k = l(e_i, e_j; f^k)$$
и зависят, таким образом, от выбора базисов в $ R$ и $ R'$.

Аналогичная формула имеет место для полилинейной функции общего вида:
$$ l(x, y, ...; f, g, ... ) = a_{if}^{rs} \xi^i \eta^f ... \lambda_r \mu_s ...., \qquad (1)$$
где числа $ a_{if}^{rs},$ определяющие полилинейную функцию, вычисляются по формулам
$$ a_{ij}^{rs} = l(e_i, e_j, ..., f^r, f^s, ...). \qquad \qquad (2)$$

Выясним теперь, как изменяется система чисел, определяющая полилинейную форму, при изменении базиса.
Пусть в $ R$ задан базис $ e_1, e_2, ..., e_n$ и в $ R'$-ызаимный с ним базис $ f^1, f^2, ..., f^n.$ Перейдем к новому базису $ e_1, e_2, ..., e_n$ в $ R$ и взаимному с ним базису $ f^1, f^2, ..., f^n$ в $ R'.$

Пусть переход от базиса $ e_1, e_2, ..., e_n$ к базису $ e_1, e_2, ..., e_n.$ задаётся формулами
$$ e_a = c_a^b e_{\beta} \qquad \qquad (3)$$
Тогда переход от базиса $ f^1, f^2, ..., f^n$ к базису $ f^1, f^2, ..., f^n$ задаётся формулами
$$ f^b = b_a^b f^a, \qquad \qquad (4)$$
где $ ||b_a^b||$- матрица, транспортированной к матрице, обратной к $ ||c_a^b||.$

Формула (3) показывает, что числа $ c_a^b$ при фиксированном $ \alpha$ являются координатами вектора $ e_a^{'}$ в базисе $ e_1, e_2, ..., e_n.$ Аналогично числа $ b_a^b$ при фиксированном $ \beta$ являются координатами вектора $ f^b$ в базисе $ f^1, f^2, ..., f^n.$

Найдем систему чисел $ a_{ij...}^{'rs...},$ определяющих нашу полилинейную функцию в базисах $ e_1, e_2, ..., e_n$ и $ f^1, f^2, ..., f^n.$ Мы знаем, что
$$ a_{ij..}^{'rs..} = l (e_i, e_j, ...; f^r, f^s, ... ).$$
Поэтому, чтобы найти $a_{ij..}^{'rs..}$ мы должны вместо $ \xi^i, \eta^j, ...; \lambda_r, \mu_s, ...$ подставить координаты векторов $ e_i, e_j, ...; f^r, f^s, ..., $ т. е. числа $ c_i^a, c_i^b, ...; b_0^r, b_t^s, ...$ Мы получаем таким образом:
$ a_{ij..}^{'rs..} = c_i^a c_i^b ... b_{\zeta}^r b_r^s ... a_{ab..}^{\zeta r} $

Итак, система чисел $ a_{ij..}^{'rs..}$, определяющих полилинейную функцию $ l(x, y, ...; f, g, ...)$ во взаимных базисах $ e_1, e_2, ..., e_n$ и $ f^1, f^2, ..., f^n$, при переходе к новым базисам $ e_1, e_2, ..., e_n$ и $ f^1, f^2, ..., f^n$ преобразуется по формулам
$$ a_{ij..}^{'rs..} = c_i^a c_i^b ... b_a^r b_t^s ... a_{ab}^{\zeta t}, \qquad \qquad (5)$$
где $ ||c_i^f ||$-матрица, определяющая преобращование базиса $ e_1, e_2, ..., e_n$ а $ ||b_i^i||$ - матрица, определяющая преобращование взаимного с ним базиса $ f^1, f^2, ..., f^n. $

Это можно выразить следующей фразой: на нижние индексы системы чисел $ a_{ij}^{rs}$ действует матрица $ ||c_i^i||,$ на верхние индексы - матрица $ ||b_i^i||$ (смотри параграф 23, пункт 4, где рассмотрены формулы преобращования координат и контравариантного векторов).