§24.3 Определение тензора

Объекты, с которыми мы встречались на протяжении этой книги (векторы, линейные функции, линейные преобразования, билинейные функции и т. д.), определялись в каждом базисе своей системой чисел. Например, вектор определяется в каждом базисе системой $n$ чисел - своими координатами. Линейная функция определяется в каждом базисе также системой $n$ чисел - своими коэффициентами. Линейное преобразование определяется в каждом базисе системой $ n^2$ чисел - матрицей линейного преобразования. Билинейгпя функция определяется в каждом базисе системой $ n^2$ чисел - матрицей этой билинейной формы. При переходе от одной системы координат (базиса) к другой система чисел, определяющая данный объект, преобразуется определенным образом, причем закон преобразования различен для различных объектов. Например, как вектор из $ R$, так и линейная функция в $ R$ задаются системой $n$ чисел, однако при переходе к другому базису они преобразуются по-разному. Для полной характеристики встречающейся величины мы должны задать не только значения соответствующих чисел в какой-либо системе координат, но и закон преобразования соответствующей совокупности чисел при переходе к другой системе координат.

В пунктах 1 и 2 это параграфа мы ввели понятие полилинейной функции, которая определяется в каждом данном базисе системой $n^k$ чисел, преобразующихся при переходе к другому базису. В связи с ним вводится следующее определение, играющее важную роль во многих разделах физики, геометрии и алгебры.

Определение 2. Если каждой системе координат в $n$-мерном аффинном пространстве отнесена система $ n^{p+q}$ чисел $ a_{ij}^{rs}$ (число нижних индексов обозначено через $p,$ верхних - через $q),$ причем при переходе от одной системы координат к другой эти числа преобразуются по формуле
$$ a_{ij}^{rs} = c_i^a c_j^b ... b_{\zeta}^r b_r^s ... a_{ab}^{\zeta \gamma}, \qquad \qquad (6)$$
где $ ||c_i^j||$ - матрица, задающая переход от одного базиса в $R$ у другому, а $ ||b_i^j||$ - матрица, транспортированная к матрице, обратной к $ ||c_i^i||$, то мы говорим, что нам задан тензор. Этот тензор называется $p$ раз ковариантные и $q$ раз контравариантным. Число $ p+q$ называется рангом (валентностью) тензора. Сами числа $ a_{ij}^{rs}$ называются компонентами тензора.

Так как система чисел, определяющих полилинейную функцию от $ p$ векторов из $R$ и $q$ векторов из $ R'$, при изменении базиса преобразуется как раз по формуле (6), то каждой такой полилинейной функции однозначно соответствует тензор ранга $ p +q, p$ раз ковариантные и $q$ раз контравариантным. Обратно, каждому тензору однозначно отвечает полилинейная функция. В дальнейшем свойства тензоров и операции над ними мы будем изучать на "модели" Полилинейные функций, хотя, конечно, Полилинейные функции являются лишь одной из возможных реализаций тензоров.

Приведем некоторые примеры тензоров.
1. Скаляр. Если каждой системе координат отнесено одно и то же фиксированное число $a,$ то его формально можно также считать тензорном, а именно - тензорном нулевого ранга. Тензор нулевого ранга называется скаляром.
2. Контравариантный вектор. Вектору из $ R$ в каждом базисе соответствует совокупность $n$ его координат, которые при переходе к другому базису преобразуются по формулам
$$ \eta^i = b_j^i \eta' $$
и, следовательно, представляют собой контравариантный тензор ранга 1.
3. Линейная функция (ковариантный вектор). Числа $a_i,$ определяющие линейную функцию, преобразуются по формулам
$$ a_i = c_i^j a_j $$
и, следовательно, образуют ковариантный тензор ранга 1.
4. Билинейгпя функция. Пусть $A (x; y)$-билинейная форма в пространстве $R.$ Отнесем каждому базису матрицу данной билинейной формы в этом базисе. Мы получим при этом тензор ранга два, дважды ковариантный.

Аналогично, билинейная форма от векторов $x \in R, f \in R'$ определяет тензор ранга два, один раз ковариантный и один раз контравариантный, а билинейная форма от векторов $ f, g \in R'$ определяет тензор, дважды контравариантный.
5. Линейные преобразования. Пусть $A$ - линейное преобразование в пространстве $R.$ Отнесем каждому базису матрицу $ ||a_j^k||$ преобразования $A$ в этом базисе, т. е. положим
$$ Ae_i = a_i^k e_k. $$

Покажем, что $ ||a_i^k||$ есть тензор ранга два, один раз ковариантный и один раз контравариантный. Действительно, пусть переход к новому базису задаётся формулой
$$ e_i = c_i^a e_a $$
и, следовательно, обратный переход - формулой
$$ e_i = b_i^a e_a, b_i^a c_a^k = \zeta_i^k. $$
Тогда
$$ Ae_i = Ac_i^a e_a = c_i^a Ae_a = c_i^a a_a^b e_b = c_i^a a_a^b b_b^k e_k. $$
Таким образом, матрица $ ||a_i^k||$ преобразования $A$ в базисе $e_i$ имеет вид
$$ a_i^k = a_a^b c_i^b b_b^k, $$
что и доказывает, что матрица линейного преобразования $A$ есть тензор второго ранга, один раз ковариантный и один раз контравариантный.

В частности, единичному преобразованию $E$ в каждом базисе соответствует единичная матрица, т. е. система чисел
$$
\left.\begin{aligned}
1 \text{при} i =k, \\
0 \text{при} i ≠ k. \\
\end{aligned}\right\rbrace = \zeta_i^k
$$

Таким образом, $ \zeta_i^k$ представляет собой простейший тензор ранга два, один раз ковариантный и один раз контравариантный. Тензор $ \zeta_i^k$ интересен тем, что его компоненты в любой системе координат одни и те же.

Упражнение. Показать непосредственно, что если в каждой системе координат задать систему чисел
$$
\left.\begin{aligned}
1 \text{при} i =k, \\
0 \text{при} i ≠ k. \\
\end{aligned}\right\rbrace = \zeta_i^k
$$
то это будет тензор.

Докажем теперь два простых предположения о тензорах.

Пусть имеются два тензора одинакового типа. Тогда для равенства тензоров достаточно, чтобы их компоненты в каком-нибудь базисе были соответственно равны. Другими словами, из того, что компоненты этих двух тензоров равны в какой-либо системе координат, следует, что их компоненты соответственно равны в произвольной системе координат. Это предложение очевидно; действительно, так как оба тензора одинакового типа (т. е. имеют одно и то же число ковариантный и контравариантных индексов), то они преобразуются по одним и тем же формулам, и так как их компоненты в одной системе координат по предположению равны, то они равны и в любой другой системе координат. Заметим, что предположение, что оба тензора одинакового типа, является совершенно обязательным. Например, как билинейная форма, так и линейное преобразование определяются в данной системе координат матрицей. Однако из совпадения матриц линейного преобразования и билинейной формы в одной какой-либо системе координат не следует из совпадение в другой.

При заданных $ p$ и $q$ мы можем построить тензор типа $ (p, q),$ компоненты которого в каком-нибудь одном базисе равны $ n^{p+q}$ наперед заданным числам. Докажем это.

Пусть в некотором базисе нам задана система чисел $ a_{ij}^{rs}.$ Этими числами задаётся полилинейная функция $ l (x, y, ...; f, ...)$, где $ \xi^i$, соотв. $\eta^f$ и т. д., - координаты векторов $x,$ соотв. $ y$ и т. д. в базисе $e_i$. Так как с полилинейной функцией однозначно связан тензор, то мы получили тем самым тензор, удовлетворяющий поставленным условиям.