§24.4 Тензоры в евклидовом пространстве

Если $R$ есть $n$-мерное евклидово пространство, то, как мы видели в пункте 5 параграфа 23, можно установить изоморфное соответствие между $R$ и $R'$ так, что если $y \in R$ соответствует элементу $ f \in R',$ то
$$ (f, x) = (y, x)$$
для любого $ x \in R.$

Если мы теперь в полилинейной функции, зависящей от $ p$ векторов $ x, y, ...$ из $R$ и $q$ векторов $ f, g, ...$ из $ R',$ заменим векторы из $ R'$ им соответствующими векторами $ \mu, u, ...$ из $R,$ то мы получим полилинейную функцию $ l(x, y, ...; \mu, u, ...)$, зависящую от $p+q$ векторов из $R.$
Найдем коэффициенты функции $ l(x, y, ...; \mu, u, .../$ по коэффициентам функции $ l(x, y, ...; f, g, ...).$

Пусть $ a_{ij}^{ra}$ - коэффициенты полинейной функции $ l(x, y, ...; f, g, ...),$ т. е.
$$ a_{ij}^{rs} = l(e_i, e_j, ...; f^r, f^s, ...), $$
и пусть $b_{if}...rs$ - коэффициенты полилинейной функции $ (x, y, ...; \mu, u, ...)$, т. е.
$$ b_{if}...rs.. = l(e_i, e_j, ...; e_r, e_s, ...).$$

Мы доказали в пункте 5 параграфа 23, что в евклидовом пространстве векторы $e_k$ базиса биортогонального $f^i$, выражаются через векторы базиса $f^i$ по формулам
$$ e_r = g_{ra} f^a, $$
где
$$ g_{ik} = (e_i, e_k).$$
Подставляя вместо $ e_r, ...$ их выражения, получаем
$$ b_{ij}..rs = l(e_i, e_f, ...; e_r, e_s, ...) = \\
= l(e_i, e_j, ...; g_{ar} f^a, g_{bs}, f^b, ...) =\\
= g_{ar} g_{bs} ... l(e_i, e_j, ...; f^a, f^b, ...) = \\
= g_{ar} g_{ba} ... a_{ij}^{ab} ... $$

Ввиду установленного соответствия между полилинейными функциями и тензора и мы можем сформулировать полученный результат для тензоров:

Если $ a_{ij}^{rs}$ - тензор, построенный в евклидовом пространстве, $p$ раз ковариантный и $q$ раз контравариантный, то по нему можно построить новый тензор $ b_{ij} rs...,$ являющийся $p+q$ раз ковариантным. Эта операция называется операцией опускания индексов. Она определяется формулой
$$ b_{ij}....rs = g_{ar} g_{bs} ... a_{ij}^{ab}.$$
$g_{ik}$ является дважды ковариантным тензорном. Действительно, $g_{ik} = (e_i, e_k)$ представляют собой в данной системе координат коэффициенты некоторой билинейной формы, а именно скалярного произведения. Ввиду его связи со скалярным произведением (метрикой) пространства тензор $g_{ik}$ называется метрическим тензорном.

Совершенно аналогично операции опускания индексов можно ввести операцию поднимания индексов с помощью формулы
$$ b^{ij} ... rs. .. = g^{ai} g^{bi} ...a_{ab}^{rs}..., $$
где $ g^{ik}$ имеет смысл, указанный в параграфе 23, пункта 5.

Упражнение. Показать, что $g^{ik}$ - дважды контравариантный тензор.