§24.5 Операции над тензорами

Ввиду установленной связи между тензорами и полилинейными функциями мы будем определять операции над полилинейными функциями. Запись полученных результатов в произвольном базисе даст нам соответствующую операцию над тензорами.

Сложение тензоров. Пусть
$$ l' (x, y, ...; f, g, ...), l''(x, y, ...; f, g, ...)$$
- две Полилинейные функции от одного и того же числа векторов из $R$ и одного и того же числа векторов из $R'$. Определим их сумму $ l(x, y, ...; f, g, ...)$ формулой $l(x, y, ...; f, g, ...) = \\
= l' (x, y, ...; f, g, ...) + l'' (x, y, ...; f, g, ...).$

Ясно, что эта сумма есть снова полилинейная функция от того же числа векторов из $R$ и из $R'.$ Сложение тензоров определяется поэтому формулой:
$$ a^{rs...}_{ij...} = a^{rs...}_{ij...} + a^{rs...}_{ij...}.$$

Умножение тензоров. Пусть
$$ l' (x, y, ...; f, g, ...) l''(z, ...; h, ...)$$
- две полилинейные функции, из которых первая зависит от $p'$ векторов из $R$ и $q'$ векторов из $R'$, а вторая - от $p''$ векторов из $R$ и $q"$ векторов из $R'$. Определим функцию $ l(x, y, ..., z, ...; f, g, ..., h, ....) =
= l' (x, y, ...; f, g, ...) l" (z, ....; h, ...). $

Функция $l$ называется произведением Полилинейные функций $l'$ и $l".$ Покажем, что $l$ есть полилинейная функция, зависящая от $ p' + p"$ векторов из $R$ и $q' + q"$ векторов из $ R'.$ Действительно, при проверке того, что
$$ l(x, y, ..., z, ....; f, g, ..., h, ...)$$
есть полилинейная функция, мы фиксируем, по очереди, все векторы, кроме одного; при этом ясно, что $l$ есть линейная функция от вектора, оставшегося незафиксированным.

Выразим компоненты Тензоры, отвечающего произведению Полилинейные функций $l'$ и $l",$ через компоненты тензоров, отвечающих самих этим полилинейным функциям. Так как
$$ a^{rs...}_{ij...} = l' (e_i, e_j, ...; f^r, f^s, ...) $$
и
$$ a^{"rs...}_{ij...} = l" (e_k, e_j, ...; f^t, f^u, ...),$$
то
$$ a^{rstu...}_{iklj...} = a^{rs...}_{ij...} a^{tu...}_{kl...}$$

Эта формула определяет, таким образом, произведение двух тензоров.

Свёртка тензора. Пусть $ l(x, y, ...; f, g, ...)$ - полилинейная функция, зависящая от $p$ векторов $x, y, ...$ из $ R ( p \geqslant 1)$ и $q$ векторов $ f, g, ...$ из $ R' (q \geqslant 1.)$ Мы построим по ней полилинейную функцию, зависящую от $p -1$ векторов из $ R$ и $ q-1$ векторов из $ R'.$ Выберем для этого какой-либо базис $ e_1, e_2, ..., e_n$ в $ R$ и взаимный с ним базис $ f^1, f^2, ..., f^n $ в $ R'$. Будем теперь вместо $x$ и $f$ подставлять соответственно $ e_1, f^1; e_2; ...; e_n, f^n$ и рассмотрим сумму *)
$$ l' (y, ....; g, ...) = l(e_a, y, ...; f^a, g, ...). \qquad (7)$$

Ясно, что каждое слагаемое, а значит и вся сумма, есть полилинейная функция от $y, ...$ и $ g, ...$. Покажем, что хотя каждое слагаемом зависит от выбора базиса, построенная нами сумма от выбора базиса уже не зависит.

Перейдем для этого к другому базису $ e_1, e_2, ..., e_n$ и соответственно к взаимному с ним базису $ f^1, f^2, ..., f^n$. Так как мы не меняем при этом векторов $y, ...$ и $g, ..., $ то мы можем их фиксировать и доказывать наше утверждение для билинейной формы $ A(x; f).$ Итак, нас нужно доказать, что если $ A(x; f)$ - билинейгпя форма, то
$$ A(e_a, f^2) = A(e_a; f^a).$$

Если переход от базиса $ e_1, e_2, ..., e_n$ к базису $ e_1, e_2, ..., e_n$ задаётся формулой
$$ e_i = c_i^b e_k, $$
то переход от базиса $ f^1', f^2, ..., f^n$ к базису $ f^1, f^2, ..., f^n$ задаётся формулой
$$ f^k = c_i^k f^i$$.
Поэтому
$$ A(e_a; f^a) = A(c_a^k e_k; f^a) = c_a^k A(e_k; f^a) = \\
= A(e_k; c_a^k f^a) = A(e_k; f^k),$$
т. е. $ A(e_a; f^a)$ действительно не зависит от системы координат.

Найдем коэффиентам формы $ l(x, y, ...; f, g, ...) $ коэффициенты формы (7). Так как
$$ a^{'s...}_{ij...} = l' (e_j, ...; f^s, ...)$$
и
$$ l' (e_j, ...; f^s, ...) = l(e_a, e_j, ...; f^a, f^s, ...),$$
то
$$ a^{'s...}_{i...} = a^{as...}_{aj...}. \qquad \qquad (8)$$

Тензор $ a^{'s...}_{j...}$, полученный из $ a^{rs...}_{ij...}$ по формуле (8), называется сверткой тензора $ a^{rs...}_{ij...}$.

Ясно, что сверку мы можем провести не обязательно по первому верхнему т первому нижнему индексам. Обязательно лишь, чтобы суммирование производилось по одному ковариантному и одному контравариантного индексу. Если бы мы суммировали, например, по двум нижним индексам, то полученная система чисел не образовывала бы тензора (так как при переходе от одной системы координат к другой эти числа не преобразовывались бы по предписанному тензору закону преобразования).

Заметим, что в случае свёртки тензора ранга два мы получаем тензор нулевого ранга (скаляр), т. е. число, не зависящее от системы координат.

Рассмотренная нами в пункте 4 операция опускания индексов есть не что иное, как Свёртка произведения данного тензора и метрического тензора $ g_{ik}$ (взятого сомножителей соответствующее число раз). Аналогично, поднимание индексов есть Свёртка произведения данного тензора и тензора $ g^{ik}.$

Приведем ещё пример. Пусть $ a_{ij}^{k} $ - тензор ранга три, а $ b_j^m$ - тензор ранга два. Их произведение есть тензор $ c_{ijl}^{km} = a_ij}^k b_l^m$ ранга пять. Если теперь свернуть этот тензор, например, по индексам $i$ и $m$, то мы получим тензор ранга три. Если мы полученный тензор ещё раз свернем, например, по индексам $j$ и $k$, то мы получим тензор ранга один (вектор).$

Пусть $a_i^j$ и $ b_k^l$- два тензора ранга два. Умножением и свёртывание можно построить по ним новый тензор ранга два:
$$ c_i^l = a_i^a b_a^l.$$
Если Тензоры $ a_i^j$ и $ b_k^l$ трактовать как матрицы линейных преобразований, то полученный тензор есть матрица произведения этих преобразований.

Мы можем также построить по данному тензору ранга два $a_i^j$ ряд инвариантов (т. е. чисел, не зависящих от системы координат, - скаляров), а именно:
$$ a_a^a, a_a^b a_b^a ...$$

Введённые нами операции над тензорами дают нам возможность по данным тензорам строить ряд новых, инвариантно связанных с ними, тензоров.
Приведем некоторые примеры.
Операцией умножения мы можем из векторов построить Тензоры сколь угодно высокого ранга. Пусть, например, $ \xi^i$ - координаты контравариантного, а $ \eta_j$ - координаты ковариантного вектора. Тогда $ \xi^i \eta_j$ есть тензор ранга два. Аналогично, взяв большее число векторов, можно получить Тензоры более высокого ранга. Заметим, что не всякий тензор получить умножением векторов. Можно, однако, доказать, что всякий тензор может быть получен из векторов (тензоров ранга один) операциями сложения и умножения.

Целым рациональным инвариантом от данной системы тензоров называется многочлен от компонент тензора, который не меняется при замене компонент тензоров в какой-нибудь системе координат их компонентами в другой системе координат.

Имеет место следующая теорема, которую мы не будем доказывать:
Если задана некоторая система тензоров, то всякий целый рациональный инвариант, построенный по данным тензорам, можно получить из них операциями перемножения тензоров, сложения и умножения на числа и полного свёртывания (т. е. свёртывания по всем индексам).