§25.1 Тензорное произведение $R \otimes R$

В первой главе мы изучилали билинейные функции в аффинном пространстве $R.$ Здесь мы покажем, что билинейные функции можно трактовать и как линейные функции в некотором новом пространстве. Это пространство, играющее очень важную роль, называется тензорном произведением $R$ и $R$ (по-другому, тензорном квадратом $R$) и обозначается $ R \otimes R$ или $ \otimes^2 R.$ Дадим его определение.

Рассмотрим всевозможные упорядоченные пары $ x, y, $ элементов из $R.$ Каждую такую пару будем называть тензорном произведением $x $ и $y$ и обозначать $x \otimes y.$ Образуем формальные конечные суммы таких пар:
$$ X = x_1 \otimes y_1 + ... + x_k \otimes y_k. \qquad \qquad (1)$$

При этом формальные суммы, отличающиеся только порядком слагаемых, мы не будем различать между собой. Запись (1) означает, таким образом, только то, что нам задано множество $k$ пар $ x_1, y_1; ...; x_k, y_k.$

Введем для выражения вида (1) операции сложения и умножения на число. Сумму двух таких выражений определим как результат формального дописывается к первому выражению второго:
$$ (x_1 \otimes y_1 + ... + x_k \otimes y_k) + (x_{k+1} \otimes y_{k+1} + ... + x_{k+l} \otimes y_{k+l} ) = \\
= x_1 \otimes y_1 + ... + x_{k+l} \otimes y_{k+l}. \qquad \qquad (2)$$
Произведение на число $ \lambda $ определим так:
$$ \lambda (x_1 \otimes y_1 + ... + x_k \otimes y_k) = (\lambda x_1) \otimes y_1 + ... + (\lambda x_k) \otimes y_k. \qquad (3)$$

Элемент $ 0 \otimes 0$ будем называть нулем тензорного произведения и обозначать коротко через 0.

Мы должны ещё объяснить, какие выражения вида (1) считаются равными. Будем полагать, что
1) $(x_1 +x_2) \otimes y - x_1 \otimes y -x_2 \otimes y = 0 *); $
2)$ x \otimes (y_1 + y_2) - x \otimes y_1 - x \otimes y_2 = 0; $
3) $(\lambda x) \otimes y - x \otimes (\lambda y) = 0.$

Кроме того, приравняем к нулю любое выражение, получающееся из выражений 1), 2), и 3) сложением и умножением на число.

Теперь два выражения $ X $ и $ X' $ вида (1) будем считать равны и, если их можно превратить в одинаковые, прибавляя к $ X $ и $ X' $ выражения, равные нулю, т. е. если существуют такие выражения $ Z = 0$ и $ Z' = 0,$ что $ X + Z $ совпадает с $ X' + Z'.$ Очевидно, что введённое отношение равенства рефлексивно (т. е. $ X = X)$ и симметрично (т. е. из $ X = Y$ следует $ Y = X);$ легко проверить, что оно обладает также и свойством транзитивности (т. е. из $ X = Y$ и $ Y = Z$ следует $ X = Z).$

В результате мы получаем пространство, элементы которого - классы равных между собой выражений вида (1), а сложение и умножение по остальным формулам.

Заметим, что операции сложения и умножения на число мы ввели до того, как было определено отношение равенства двух выражений (1). Поэтому нам нужно было бы убедиться в корректности определений этих операций; именно нужно показать, что сумма выражений (1) и произведение на число не меняются при замене этих выражений на равные. Эта простая проверка предоставляется читателю.

Нетрудно убедиться, что построенное пространство является линейным пространством. Покажем, например, что для каждого $ X$ существует элемент, ему противоположный. Это достаточно проверить для элементов вида $ X = x \otimes y.$ Из условия 3) при $ \lambda = 1$ получаем $ x \otimes y + (-x) \otimes y = 0.$, т. е. $ Y = (-x) \otimes y$ является элементом, противоположным $ X$.
Построенное линейное пространство называется тензорном произведением $R $ на $R'$ и обозначается через $ R \otimes R.$

Итак, мы определили тензорное произведение $ R \otimes R$ как линейное пространство, элементами которого являются формальные выражения вида $ x_1 \otimes y_1 + ... + x_k \otimes y_k,$ где $ x_i, y_i, $- элементы из $ R.$ Точнее, элементами пространства $ R \otimes R$ являются классы равные между собой выражений вида $ x_1 \otimes y_1 + ... + x_k \otimes y_k$ (условие равенства дано выше).
Сложение в $ R \otimes R$ и умножение на число определяются по формулам (2) и (3).
Ответим, что из условий 1)-3) следует:
$$ (x_1 + x_2) \otimes y = x_1 \otimes y + x_2 \otimes y; \\
x \otimes (y_1 + y_2) = x \otimes y_1 + x \otimes y_2; \\
\lambda (x \otimes y) = (\lambda x) \otimes y = x \otimes (\lambda y).$$

Поэтому в тензорном произведении можно раскрывать скобки по обычному правилу:
$$ (\lambda_1 x_1 + ... + \lambda_m x_m) \otimes (\mu_1 y_1 + ... + \mu_n y_n) = \\
= \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \lambda_j \mu_i (x_i \otimes y_i).$$