§25.2 Связь между билинейными формами в пространстве R и линейными функция и в $ R \otimes R.$

Покажем теперь, как по билинейной форме на $R$ можно построить линейную функцию на тензорном произведении $ R \otimes R.$ Пусть задана билинейная форма $ f (x, y)$ на $ R.$ Сопоставим ей линейную функцию $ F(X)$ на $ R \otimes R.$ Для элементов $ X = x \otimes y$ положим
$$ F(x \otimes y) = f(x, y);$$
для произвольного $ X = x_1 \otimes y_1 + ... + x_k \otimes y_k$ полагаем
$$ F(X) = f (x_1, y_1) + ... + f(x_k, y_k).$$

Чтобы определение $F(X)$ было корректным, нужно, чтобы на равных выражениях функция $ F$ принимала одинаковые значения. Убедимся, что это так. Для этого достаточно показать, что $ F(X) = 0$. Проверим, например, что
$$ F((x_1 + x_2) \otimes y - x_1 \otimes y - x_2 \otimes y) = 0.$$
В самом деле, имеем:
$$ F((x_1 + x_2) \otimes y - x_1 \otimes y - x_2 \otimes y) = \\
= f(x_1 + x_2, y) + f(-x_1, y) + f(-x_2, y) = \\
= f(x_1, y) + f(x_2, y) - f(x_1, y) - f(x_2, y) = 0.$$

Очевидно, что построенная по $ f(x, y)$ функция $ F(X)$ на $ R \otimes R$ линейная, т. е. $ F(X + Y) = F(X) + F(Y)$ и $ F (\lambda X) = \lambda F (X).$ Обратно, если $ F(X)$ - линейная функция на $ R \otimes R,$ то ей соответствует билинейная форма на $R:$
$$ f(x, y) = F(x \otimes y).$$

Итак, мы установили естественное взаимно однозначное соответствие между билинейными формами на $R$ и линейными функциями на $ R \otimes R.$

Заметим, что это соответствие линейно; именно, если билинейным формам $ f_1, f_2$ отвечают линейные функции $ F_1$ и $ F_2,$ то их линейной комбинации $ \lambda_1 f_1 + \lambda_2 f_2$ отвечает функция $ \lambda_1 F_1 + \lambda F_2.$ Таким образом, построенное соответствие является изоморфом между пространством $ B(R)$ билинейных форм на $ R$ и пространством $ (R \otimes R)'$ линейных функций на $ R \otimes R.$