§25.5 Связь между тензорами и элементами тензорных произведений

Мы покажем, что любой вектор в пространстве $ R$ можно рассматривать как элемент некоторого тензорного пространства. Сначала убедимся в этом для тензоров ранга 2, дважды ковариантных.

Согласно параграфу 24, пункту 3, тензор ранга 2, дважды ковариантный, задаётся билинейной формой на $ R.$ Но мы уже знаем, что между билинейными формами на $ R$ и линейными функциями на $ R \otimes R$ имеется естественное взаимно однозначное линейное соответствие. Значит, в силу этого соответствия любой тензор ранга 2, дважды ковариантный, можно рассматривать как линейную функцию на $ R \otimes R,$ т. е. как элемент сопряженного пространства $ (R \otimes R)'$.

С другой стороны, мы установим сейчас естественный изоморфизм $ (R \otimes R)' ≈ R' \otimes R'.$ В силу этого изоморфизма любой тензор ранга 2, дважды ковариантный, можно рассматривать как элемент тензорного произведения $ R' \otimes R'.$

Построим изорфизм $ (R \otimes R)' ≈ R' \otimes R'.$ Пусть $ F \in R' \otimes R',$ т. е.
$$ F = f^1 \otimes g^1 + ... + f^l \otimes g^l,$$
где $ f^l, g^l$- линейные функции на $R.$ Мы должны сопоставить $ F$ элементы из $ (R \otimes R)',$ т. е. линейную функцию $ F(X)$ на $ R \otimes R.$ Определим эту функцию по формулам
$$ F(x \otimes y) = f^1(x) g^1 (y) + ... + f^l (x) g^l (x), \\
F(x_1 \otimes y_1 + ... + x_k \otimes y_k) = F(x_1 \otimes y_1) + ... + F(x_k \otimes y_k).$$
Читателю предлагает убедиться, что эти формулы действительно определяют линейную функцию на $ R \otimes R$ и что построенное соответствие - изоморфизм.

Рассмотрим теперь тензоры ранга 2, дважды контравариантные. Каждый из них задаётся ьилинейной формой на $R'$. Но между билинейными формами на $ R'$ и линейными функция и на $ R' \otimes R'$ имеется естественное взаимно однозначное линейное соответствие. Значит, Тензоры ранга 2 дважды контравариантные, можно рассматривать как элементы пространства $ (R' \otimes R')' ≈ R \otimes R.$

Перейдем к общему случаю. Рассмотрим тензоры ранга $p+q$, $p$ раз ковариантные, и $q$ раз контравариантные. Из параграфа 23, пункта 3, мы знаем, что им однозначно отвечают полилинейные функции $ l(x, y, ..., f, g, ...)$ от $ p$ векторов $ x, y, ...$ из $ R$ и $ q$ векторов $ f, g, ...$ из $ R'.$

Подобному тому, как это делалось для билинейных форм, можно установить естественное взаимно однозначное линейное соответствие между такими полилинейными функциями $ l(x, y, ..., f, g, ...)$ и линейными функциями и на тензорном произведении $ \underbrace {R \otimes ... \otimes R}_p \otimes \underbrace {R' \otimes R' \ldots \otimes R'}_q.$

Именно, если $ F(X)$ - линейная функция на тензорном произведении $ \underbrace {R \otimes ... \otimes R}_p \otimes \underbrace {R' \otimes ... \otimes R'}_q,$ то ей отвечает полилинейная функция $ l(x, y, ...; f, g, ...)$ от $ p$ векторов из $ q$ векторов из $ R';$
$$ l(x, y, ...; f, g, ...) = F(x \otimes y \otimes ... \otimes f \otimes g \otimes ...). \qquad (5)$$

Обратно, если задана полилинейная функция $ l(x, y, ...; f, g, ...),$ то существует (и притом единственная) линейная функция на тензорном произведении $ \underbrace {R \otimes ... \otimes R}_p \otimes \underbrace {R' \otimes ... \otimes R'}_q $, удовлетворяющая соотношению (5). (Доказать.)

Значит, тензоры ранга $ p + q, p$ раз ковариантные и $q$ раз контравариантные, можно рассматривать как линейные функции на $ \underbrace {R \otimes ... \otimes R}_p \otimes \underbrace {R' \otimes ... \otimes R'}_q,$ т. е. как элементы сопряженного пространства
$$ \underbrace {R \otimes ... \otimes}_p R \otimes \underbrace {R' \otimes ... \otimes R}_q ≈ \\
≈ \underbrace {R' \otimes ... \otimes R'}_p \otimes \underbrace {R \otimes ... \otimes R}_q. $$