§25.6 Тензорное произведение линейных преобразований

Мы научились по каждой паре линейных пространств $ R_1, R_2$ строить новое линейное пространство - их Тензорное произведение $ R_1 \otimes R_2.$ Однако этим задача не заканчивается. Можно ещё по линейным преобразованиям в каждом из пространств $ R_1, R_2$ построить линейное преобразование в их тензорном произведении.

Итак, пусть заданы линейное преобразование $A$ пространства $ R_1$ в $ R_1$ и линейное преобразование $ B$ пространства $ R_2$ в $ R_2$ *). Мы построим по ним линейное преобразование пространства $ R_1 \otimes R_2$ в $ R_1 \otimes R_2$ пространств $ R_1$ и $ R_2.$ Напомним, что элементами $ R_1 \otimes R_2$ являются формальные суммы
$$ x_1 \otimes y_1 + ... + x_k \otimes y_k, $$
где $ x_i \in R_1, y_i \in R_2, i = 1, ..., k.$

Тензорным произведением $ A \otimes B $ линейного преобразования $ A$ пространства $ R_1$ в $ R_1$ и линейного преобразования $ B$ пространства $ R_2 $ в $ R_2$ называется линейное преобразование $ C$ пространства $ R_1 \otimes R_2$ в $ R_1 \otimes R_2,$ определяемое следующим образом:
$$ C(x_1 \otimes y_1 + ... + x_k \otimes y_k) = \\
= (Ax_1) \otimes (By_1) + ... + (Ax_k) \otimes (By_k)*).$$

Более общо, если имеются два линейных пространства $ R_1, S_1,$ два других линейных пространства $ R_2, S_2$ и линейные преобразования $ A: R_1 - S_1$ и $ B R_2 - S_2$, то можно аналогично определить линейное преобразование
$$ A \otimes B: R_1 \otimes R_2 - S_1 \otimes S_2.$$

Отметим, что каждому линейному преобразованию $ A$ пространства $R_1$ естественным образом линейное преобразование пространства $ R_1 \otimes R_2,$ а именно $ A \otimes 1,$ где 1 - единичное преобразование; аналогично каждому линейному преобразованию $ B$ пространства $ R_2$ можно поставить в соответствие линейное преобразование $ 1 \otimes B$ пространства $ R_1 \otimes R_2.$

Установим, как выражается матрица линейного преобразования $ C = A \otimes B$ через матрицы преобразований $ A$ и $ B.$ Задании базис $ e_1, ..., e_m$ в пространстве $ R_1$ и базис $ f_1,...., f_n$ в пространстве $ R_2$. Тогда векторы $ e_i \otimes f_j$ образуют базис в тензорном произведении $ R_1 \otimes R_2.$

Пусть $ A = ||a_{ij}||$ - матрица преобразования $ A$ в базисе $ e_1, ..., e_m: B$ - матрица преобразования $ B$ в базисе $ f_1, ..., f_n, $ т. е.
$$ Ae_k = \sum_{i=1}^m a_{ik} e_i, Bf_i = \sum_{i=1}^n b_{ft} f_f.$$
Тогда $ C = A \otimes B$ преобразуют базисные векторы $ e_k \otimes f_l$ по следующей формуле :
$$ C(e_k \otimes f_l) = (Ae_k) \otimes (Bf_l) = \sum_{i=1}^m \sum_{i=1}^n a_{ik} b_{ji} (e_i \otimes f_j).$$

Таким образом, матрица преобразования $ C$ есть матрица $ C = ||c_{ij, kl}||$ порядка $ mn$, строки и столбцы которой занумеровны парами индексов $ (i, j), i=1, ..., m; j=1, ..., n.$ При этом $ c_{ij, k}l = a_{ik} b_{ji}.$ Такая матрица d$ C$ называется кронекеровским произведением матриц $ A$ и $ B$.

Упражнение. Доказать, что определитель кронекровского произведения матриц $ A$ и $B$ равен произведению определитель матриц $ A$ и $ B.$