§25.7 Понятие функтора

В этой главе мы рассмотрели несколько типов операций над линейными пространствами, как, например, операции перехода к сопряженному пространству или Тензорное умножение. Дадим общее определение таких операций.

Мы говорим, что задан ковариантный функтор (или, более подробно ковариантный функтор в категории линейных пространств*), если задано правило, сопоставляющее каждому линейному пространству $R$ некоторое линейное пространство $ F(R)$ и каждому линейному преобразованию $ A: R_1 - R_2$ некоторое линейное преобразование $ F(A)$ пространства $ F(R_1) $ в $ F(R_2)$ (в наших обозначениях, $ F(A): F(R_1) - F(R_2))$. При этом предполагается выполненными следующие условия:
1) если 1 - единичное преобразование в $ R,$ то $ F(1)$ - единичное преобразование в пространстве $ F(R);$
2) если $ A: R_1 - R_2$ и $ B: R_2 - R_3$- два линейных преобразования, то
$$ F(BA) = F(B) F(A).$$

Примером ковариантного функтора является Тензорное умножение. Именно пусть $ S$-фиксированное пространство. Отнесем каждому линейному пространству $ R$ пространство $ F(R) = R \otimes S$ и каждому линейному преобразованию $ A: R_1 - R_2$ линейное преобразование $ F(A) = A \otimes 1$ пространства $ R_1 \otimes S$ в $ R_2 \otimes S.$ Нетрудно проверить, что при этом свойства 1) и 2) выполняются: таким образом, $ F$- ковариантный функтор.

Аналогично определяется контравариантный функтор. Мы говорим, что задан контравариантный функтор $ F,$ если задано правило сопоставляющее каждому линейному пространству $ R$ некоторое линейное пространство $ F(R)$ и каждому линейному преобразованию $ A: R_1 - R_2$ некоторое преобразование $ F(A): F(R_2) - F(R_1)$. При этом предполагается выполненными условия.
2') если $ A: R_1 - R_2$ и $ B: R_2 - R_3 -$ два линейных преобразования, то
$$ F(BA) = F(A) F(B).$$

Примером контравариантного функтора является операция перехода к сопряженным пространствам. Именно отнесем каждому линейному пространству $ R$ сопряженное ему пространство $ F(R) = R'$ и каждому линейному преобразованию $ A: R_1 - R_2$ сопряженное преобразование $ F(A) = A'$. Нетрудно проверить (см. пункт 2 параграфа 23), что при этом свойства выполняются; таким образом, $ F$-контравариантный функтор.

Задача. Пусть $ S$-фиксированное линейное пространство. Обозначим через $ Hom (R, S)$ пространство всех линейных преобразований $ A: R - S.$ Для любого пространства $ R$ положим $ F(R) = Hom (R, S)$. Мы определили, таким образом, операцию $ F$ на множестве линейных пространств. Требуется определить $ F$ также на множестве линейных преобразований таким образом, чтобы $ F$ стало контравариантным функтором.