§25.8 Симметрическая и внешняя степени

Наряду с тензорным произведением $ R \otimes R$ полезно также рассматривать симметрическую степень и внешнюю степень пространства $ R;$ особенно важным понятием является внешняя степень. Эти пространства строятся аналогично тензорному произведению.

Начнем с определения симметрической квадрата $ S^2 (R).$ Напомним, что элементами пространства $ R \otimes R$ являются выражения
$$ x_1 \otimes y_1 + ... + x_k \otimes y_k, \qquad \qquad (6)$$
где $ x_i, y_i, $ элементы из $ R.$ При этом предполагается, что
$$ 1) (x_1 + x_2) \otimes y-x_1 \otimes y - x_2 \otimes y = 0; \\
2) x \otimes (y_1 + y_2) - x \otimes y_1 - x \otimes y_2 = 0; \\
3) (\lambda x) \otimes y-x \otimes (\lambda y) = 0.$$

Элементы $ x \otimes y$ и $ y \otimes x$ в $ R \otimes R$ являются при $ y ≠ x$, по определению, различными.

Однако иногда удобно ввести пространство, в котором $ x \otimes y = y \otimes x.$
Для этого дополним условия 1)-3) следующим:
$$ 4) x \otimes y - y \otimes x = 0.$$

Приравнивая также нулю и все линейные комбинаций выражений 1), 2), 3), 4(. Два выражения $ X$ и $ X'$ вида (6) будем теперь считать равными, если для них существуют такие выражения $ Z = 0$ и $ Z' = 0,$ что $ X + Z$ и $ X' + Z'$ совпадают.

В результате мы получим линейное пространство, элементы которого - классы равных между собой выражений вида (6), а операции сложения и умножения на число определены, как и для тензорного произведения $ R \otimes R.$ (Читателю предлагается убедиться в корректности этих операций и в том, что все аксиомы линейного пространства здесь выполнены.) Это пространство называется симметрическим квадратом пространства $ R$ и обозначается через $ S^2 (R).$

Упражнение. Доказать, что размерность $ S^2 (R)$ равна $ {{n(n+1)} \over {2}},$ где $n$-размерность $ R.$

Другим важным понятием является внешний квадрат $ R$. Чтобы это пространство построить, добавим следующее:
$$ 4') x \otimes x = 0.$$

После этого мы определим равенство двух выражения вида (6) подобно тому, как это уже делалось для тензорного произведения $ R \otimes R$ и для симметрического квадрата $ S^2 (R).$ Получаемое линейное пространство, элементы которого - классы равных между собой выражений вида (6), называется внешним квадратом пространства $ R$ и обозначает через $ R /\ R$.

Лемма. В пространстве $ R /\ R$ имеет место равенство
$$ x \otimes y + y \otimes x = 0. \qquad \qquad (7)$$

В самом деле, имеем:
$$ x \otimes y + y \otimes x = (x + y) \otimes (x + y) - x \otimes x - y \otimes y.$$

Таким образом, выражение $ x \otimes y + y \otimes x$ является линейной комбинацией, и, значит, оно равно нулю.

Выражение $ x \otimes y,$ рассматриваемое как элемент из $ R /\ R,$ называют внешним произведением векторов $x $ и $y$ и обозначают так: $ x /\ y.$ Равенство (7) означает, что внешнее произведение векторов антисимметрично: $ x /\ y = - y /\ x.$

Покажем, что $ S^2 (R) $ и $ R /\ R$ можно определить и как подпространства в $ R \otimes R;$ точнее, в $ R \otimes R$ имеются подпространства, естественным образом изоморфные $ S^2 (R)$ и $ R /\ R.$
Для этого зададим в пространстве $ R \otimes R$ линейное преобразование $ \sigma$, определяемое по формуле
$$ \sigma (x_1 \otimes y_1 + ... + x_k \otimes y_k) = y_1 \otimes x_1 + ... + y_k \otimes x_k.$$
Очевидно, что его квадрат есть единичное преобразование: $ \sigma^2 = 1.$

Рассмотрим два подпространства в $ R \otimes R$ - подпространство $ H_1$ элементов $ X,$ для которых $ \sigma X = X,$ и подпространство $ H_2$ элементов $ X$, для которых $ \sigma X = - X.$ Эти подпространства имеют нулевое пересечение, так как из условий $ \sigma X = X, \sigma X = - X$ следует, что $ X = 0.$ Покажем, что их прямая сумма есть все пространство $ R \otimes R.$ В самом деле, представим любой элемент $ X $ из $ R \otimes R $ в виде суммы $ X = X_1 + X_2,$ где $ X_1 = {{1} \over {2}} (X + \sigma X)$ и $ X_2 = {{1} \over {2}} (X - \sigma X).$ Очевидно, что $ \sigma X_1 = X_1,$ т. е. $ X_1 \in H_1, $ и $ \sigma X_2 = - X_2,$ т. е. $ X_2 \in H_2.$

Покажем теперь, что при естественном отображении $ R \otimes R$ на $ S^2 R$ в нуль переходят все элементы из $ H_2,$ и притом только они. В самом деле, пусть $ X \in R \otimes R$ переходит при этом отображении в нуль; тогда $ X$ равно линейной комбинации, т. е. выражений $ x \otimes y - y \otimes x;$ следовательно, $ \sigma X = - X,$ т. е. $ X \in H_2.$ Обратно, пусть $ X \in H_2,$ т. е. $ \sigma X = -X;$ тогда $ X = {{1} \over {2}} (X - \sigma X);$ следовательно, $ X$ равно линейной комбинации и, значит, переходит в нуль при отображении $ R \otimes R$ на $ S^2 (R).$

Поскольку $ R \otimes R$ является прямой суммой $ H_1$ и $ H_2,$ то этим доказано, что при отображении $ R \otimes R$ из $ S^2 (R)$ подпространство $ H_1$ изоморфно отображается на $ S^2 (R).$

Итак, мы установили Изоморфизм между $ S^2 (R)$ и подпространством $ H_1 \in R \otimes R$ элементов $ X,$ для которых $ \sigma X = X.$
Аналогично устанавливается изморфизм между $ R /\ R$ и подпространством $ H_2 \in R \otimes R$ элементов $ X,$ для которых $ \sigma X = - X $

Упражнение. Пусть $ e_1, ..., e_n $ - базис в $ R.$ Доказать, что элементы $ e_i /\ e_j, $ где $ i$ меньше $ j, $ образуют базис $ R /\ R.$