§25.10 Тензорное произведение евклидовых пространств

Пусть $ R_1$- евклидово пространство со скалярным произведением $ (x, x')_1, R_2$- другое евклидово пространство со скалярным произведением $ (y, y')_2$. Тогда в их тензорном произведении $ R_1 \otimes R_2$ можно естественным образом ввести скалярное произведение.

Сначала определим его для пары векторов $ x \otimes y$ и $ x' \otimes y',$ полагая
$$ (x \otimes y, x' \otimes y') = (x, x')_1. (y, y')_2.$$
Если теперь
$$ X = x_1 \otimes y_1 + ... + x_k \otimes y_k, \\
X' = x_1' \otimes y_1' + ... + x_i' \otimes y_i' $$
- произвольные векторы из $ R_1 \otimes R_2,$ то положим:
$$ (X, X') = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^l (x_i \otimes y_i, x_j' \otimes_i'). \qquad(9)$$

Читателю предлагается убедиться, что выражение (9) действительно задаёт скалярное произведение на $ R_1 \otimes R_2.$ Именно, оно имеет смысл на $ R_1 \otimes R_2$ ( т. е. сохраняется при замене выражений $ X$ и $ X'$ на равные) и удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.

Пространство $ R_1 \otimes R_2$ с введённым в нем так скалярным произведением называется тензорным произведением евклидовых пространств $ R_1$ и $ R_2$.

Заметим, что если $ e_1, ..., e_m$ - ортонормированный базис в $ R_1,$ а $ f_1, ..., f_n$ - ортонормированный базис в $ R_2,$ то векторы $ e_i \otimes f_f$ образуют ортонормированный базис в тензорном произведении $ R_1 \otimes R_2.$ В самом деле,
$$ (e_i \otimes f_i, e_i \otimes f_i) = (e_i, e_i')_1 (f_i, f_i')_2.$$
Значит, это выражение равно 1 при $ i = i', j=j'$ и равно нулю во всех остальных случаях.