§26.1. Случай некратных собственных значений

Пусть $ A$ имеет различные собственные значения $ \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ и пусть $ e_1, e_2, ..., e_n$ - соответствующие им нормированные собственные многочлены. Пусть, далее, $ B$- какое-либо другое самосопряженное линейное преобразование. Собственные значения преобразования $ A + \epsilon B$ обозначим через $ \lambda_1(\epsilon), \lambda_2 (\epsilon), ..., \lambda (\epsilon),$ а соответствующие собственные векторы - через $ e_1 (\epsilon), e_2 (\epsilon), ..., e_n (\epsilon).$ Можно доказать, что $ \lambda_k (\epsilon) $ и $ e_k (\epsilon)$ являются непрерывными и дифференцируемыми функциями от $ \epsilon,$ причем $ \lambda_k (0) = \lambda_k, $ а $ e_k (0) = e_k.$ Представим эти функции в виде
$$ \lambda_k (\epsilon) = \lambda_k + \epsilon \lambda_k^1 + ... $$
и
$$ e_k (\epsilon) = e_k + \epsilon e_k^1 + ... *)$$
и будем сначала искать $ \lambda_k^1$ и $ e_k^1,$ т. е. "главную часть" поправки к $ e_k = e_k (0) $ и $ \lambda_k = \lambda_k (0).$ Мы имеем
$$ (A + \epsilon B) e_k (\epsilon) = \lambda_k (\epsilon) e_k (\epsilon),$$
т. е.
$$ (A + \epsilon B) (e_k + \epsilon e_k^1 + ... ) = \\
= (\lambda_k + \epsilon \lambda_k^1 + ... ) (e_k + \epsilon e_k^1 + ... ).$$
Сравним члены первой степени относительно $ \epsilon$ в обеих частях равенства. Мы получим
$$ Ae_k^1 + Be_k = \lambda_k e_k^1 + \lambda_k^1 e_k. \qquad \qquad (1)$$
Умножим обе части (1) скалярно на $ e_k$:
₽
$$ (Ae_k^1, e_k) + (Be_k, e_k) = \lambda_k (e_k^1, e_k) + \lambda_k^1 (e_k, e_k).$$
Так как, в силу самосопряжености преобразования $ A$,
$$ (Ae_k^1, e_k) = (e_k^1, Ae_k) = \lambda_k (e_k^1, e_k),$$
то
$$ (Be_k, e_k) = \lambda_k^1 (e_k, e_k) = \lambda_k^1.$$
Отсюда
$$ \lambda_k^1 = (Be_k, e_k), \qquad (2)$$
и первая половина нашей задачи таким образом решена.

Вычислим теперь главный член поправки к собственному вектору $ e_k (\epsilon),$ т. е. $ e_k^1.$ Для этого умножим скалярно обе части равенства (1) на $ e_i,$ где $i≠k.$ Так как векторы $ e_k$ и $ e_i$ ортогональны, т. е. $ (e_k, e_i) = 0$ при $ i≠k,$ то мы получим
$$ (Ae_k^1, e_i) + (Be_k, e_i) = \lambda_k (e_k^1, e_i).$$

Но аналогично предыдущему, мы имеем
$$ (Ae_k^1, e_j) = (e_k^1, Ae_i) = \lambda_i (e_k^1, e_i),$$
поэтому
$$ (e_k^1, e_i) = {{(Be_k, e_i)} \over {\lambda_k - \lambda_i}}, i ≠ k. \qquad \qquad (3)$$
Совокупность этих равенств и определяет вектор $ e_k^1.$

Запишем формулы (2) и (3) в координатной форме. Для этого удобнее всего выбрать в качестве базиса собственные векторы $ e_1, ..., e_k$ "невозмущенного" преобразования $ A.$ Матрицу преобразования $ B$ в этом базисе обозначим через $ b_{ij},$ т. е. $ Be_j = \sum b_{jk} e_k$ и, следовательно,
$$ (Be_j, e_i) = b_{if}.$$

Координаты вектора $ e_k^1$-главного члена "поправки" - обозначим через $ \xi_1, ..., \xi_k, ..., \xi_n, $ т. е.
$$ e_k^1 = \xi_1 e_1 + ... + \xi_n e_n \qquad \qquad (4)$$
и, значит,
$$ \xi_i = (e_k^1, e_i).$$

Формулы (2) и (3) преобретут вид
$$ \lambda_k^1 = b_{kk}, \qquad (2') \\
\xi_i = {{b_{ik}} \over {\lambda_k - \lambda_i}}. \qquad (3')$$

Сам вектор $ e_k^1$ определяется числами $ \xi_i = (e_k^1, e_i)$ по четвертой формуле. У нас осталась неопределенной $k$-я координата $ \xi_k.$ Она определяется из условия нормировки собственного вектора, т. е. из условия, чтобы длина вектора $ e_k + \epsilon e_k^1 + ..., e_k + \epsilon e_k^1 + ...) = 1, $
т. е.
$$ (e_k, e_k) + \epsilon [(e_k^1, e_k) + (e_k, e_k^1)] + ... = 1.$$

Сравнивая члены при первых степенях $ \epsilon$, имеем $ (e_k^1, e_k) + (e_k, e_k^1) = 0.$ Этому условию можно удовлетворить, полагая *)
$$ \xi_k = (e_k^1, e_k) = 0. \qquad \qquad (5)$$
Окончательно имеем
$$ \lambda_k^1 = b_{kk}, \qquad (I) \\
e_k^1 = \sum_{i=1 i ≠ k}^n {{b_{ik}} \over {\lambda_k - \lambda_i}} e_i, \qquad (II)$$
где $b_{ik} = (Be_k, e_i), a \lambda_k$ - собственные значения "невозмущенного" преобразования $ A.$

Для получения формул (I) и (II) мы выбрали базис, состоящий из собственных векторов преобразования $ A.$ При произвольном базисе формулы (2) и (3) также определяют $ \lambda_k^1$ и $ e_k^1$. Чтобы получить формулы, аналогичные (I) и (II) в произвольном ортогональном базисе, надо знать только координаты векторов $ e_k$ и матрицу преобразования $ B$ в этом базисе. Пусть матрица $ B$ есть $ || \beta_{\mu v}||,$ а $ e_k^1 = { c_1^k, ..., c_n^k}.$ Тогда получаем
$$ \lambda_k = \sum_{\mu, v=1}^n \beta_{\mu v} c_{\mu}^k c_v^k,$$
а потом получаем систему уравнений для определения координат $ \xi_1, ..., \xi_n$ вектора $ e_k^1:$
$$ \zeta_1 c_1^i + \zeta_2 c_2^i + ... + \zeta_n c_n^i = \\
= {{\sum_{\mu, v} \beta_{\mu v} c_{\mu}^i c_v^k} \over {\lambda_k - \lambda_i}} (i = 1, 2, ..., k - 1, k +1, ...., n).$$

Недостающие уравнение снова получаем из $ \xi_k = (e_k^1, e_k) = 0.$
$$ \zeta_1 c_1^k + \zeta_2 c_2^k + ... + \zeta_n c_n^k = 0.$$

Так как векторы $ e_1, ..., e_n$ линейно независимы, то определитель этой системы отличен от нуля, и числа $ \zeta_1, \zeta_2, ..., \zeta_n$ определяются из нее однозначно.

Найдем теперь собственные значения во втором приближении, т.е. с точностью до членов порядка $ \epsilon^2.$

Мы видели, что, для того чтобы найти собственное значение в первом приближении, достаточно было знать собственный вектор в нулевом приближении. Аналогично, для того чтобы найти второе приближение к собственному значению, нам достаточно будет знать собственные векторы в первом приближении. Мы имеем
$$ (A + \epsilon B) e_k (\epsilon) = \lambda_k (\epsilon) e_k (\epsilon).$$
Подставим в это равенство:
$$ e_k (\epsilon) = e_k + \epsilon e_k^1 + \epsilon^2 e_k^2 + ...,
\\
\lambda_k (\epsilon) = \lambda_k + \epsilon \lambda_k^1 + \epsilon^2 \lambda_k^2 + ... $$
и сравним члены при $ \epsilon^2.$ Получим
$$ Be_k^1 + Ae_k^2 = \lambda_k^2 e_k + \lambda_k^1 e_k^1 + \lambda_k e_k^2. \qquad (6)$$

Для того чтобы найти $ \lambda_k^2$, умножим скалярно обе части этого равенства на $e_k.$ Учитывая, что $ (Ae_k^2, e_k) = (e_k^2, Ae_k) = \lambda_k (e_k^2, e_k), $ мы получим
$$ (Be_k^1, e_k) = \lambda_k^2 + \lambda_k^1 (e_k^1, e_k).$$
Так как $ (e_k^1, e_k) = 0,$ то
$$ \lambda_k^2 = (Be_k^1, e_k).$$

Но $ e_k^1 = \sum \xi_i e_i.$ Подставляя, получаем в силу формулы (3) для первого приближения
$$ \lambda_k^2 = \sum_{i=1}^n \xi_i (Be_i, e_k) = \sum_{i=1, i ≠ k}^n {{(Be_k, e_i) (Be_i, e_k)} \over {\lambda_k - \lambda_i}},$$
а так как $ (Be_k, e_i) = \overline{(Be_i, e_k)}, $ то окончательно имеем
$$ \lambda_k^2 = \sum_{i=1, i ≠ k}^n {{(Be_k, e_i)} \over {\lambda_k - \lambda_i}}, $$
где $ e_k$ - собственные векторы, а $ \lambda_k$ - собственные значения преобразования $ A,$ или
$$ \lambda_k^2 = \sum_{i=1, i≠k}^n {{|b_{ik}|^2} \over {\lambda_k - \lambda_i}}.$$

Задача. Найти поправки для собственного вектора во втором приближении, умножая скалярно обе части равенства (6) на $ e_i.$
Ответ.
$$ e_k^2 = \sum_{i≠k} \sum_{j ≠ k} {{b_{ij} b_{jk}} \over {(\lambda_i - \lambda_k) (\lambda_j - \lambda_k)}} e_i - \\
- \sum_{i≠k} {{b_{kk} b_{ik}} \over {(\lambda_i - \lambda_k)^2}} e_i - \sum_{i≠k} {{|b_{ik}}|^2 e_k \over {(\lambda_i - \lambda_k)^2 2}}.$$

Кроме указанных уравнений надо воспользоваться также условием нормировки, т. е. равенством
$$ (e_k + \epsilon e_k^1 + \epsilon^2 e_k^2 + ..., e_k + \epsilon e_k^1 + \epsilon e_k^1 + \epsilon^2 e_k^2 + ... ) = 1.$$