Вопросы и ответы к 1-ой аттестации квантовая механика ФКН ВГУ

.doc скачать
Содержимое:
Условие линейности оператора
F ?(c_1 ?_1+c_2 ?_2 )=c_1 F ??_1+c_2 F ??_2 где ?_1,?_2- произвольные комплексные функции, а c_1, c_2- произвольные комплексные константы
Условие эрмитовости оператора
????^* F ? ? ?dV=????F ?^* ? ?^* dV действует по всей области переменной F ?^ = F ?^+
Свойства спектра эрмитовского оператора
Собственные значения-действительные числа
F ?f_n=f_n ?_n ; F ?^* ?f_n?^*=?f_n?^* ??_n ?^*
Свойства собственных функций эрмитовского оператора
Собственные функции эрмитовских операторов образуют полный набор.
Ф(x)=?_n??c_n ?_n (x)?
Собственные функции коммутирующих линейных эрмитовстких операторов одинаковы
{?(A ??_n=f_n ?_n@B ??_n=f_n ?_n )? , [A ?,B ? ]=0 ,то ?_n=?_n+ const
Собственные функции эрмитовских операторов ортонормированны
???_n^* (x) ?_m (x)dx=?_nm?{?(1,n=m@0,n?m)?
Перечислите свойства волновой функции()
Непрерывна
Ограничена
Однозначна
Оператор квадрата координаты линеен или нет?
Да
Записать вид оператора квадрата импульса при движении частицы в плоскости x-y.
?p ?_x?^2=-h^2 ?^2/(?x^2 );?p ?_y?^2=-h^2 ?^2/(?y^2 ) ; F ?=-h^2 (?^2/(?x^2 )+?^2/(?y^2 ))
Как определяется вид оператора Гамильтона
H ?=T ?+U ? , T ?=-h^2/2m ?^2
Запишите уравнение Шредингера и поясните символы в уравнении
H ??=ih ??/?t где i-мнимая единица, h-постоянная Планка, ?- волновая функция,Н-оператор Гамильтона
Запишите уравнение Шредингера для стационарых состояний
ih 1/T ?T/?t=1/X H ?X
H ??f(t),то H ?X=EX
?(x,t)=T(t)X(x) , T(t)=e^(-iEt/h) где X-решение уравнения
Зависит ли волновая функция стационарного состояния от времени?
Да, ?(x,t)=T(t)X(x) , T(t)=e^(-iEt/h)
Сформулируйте условие при котором квантовая механика переходит в классическую механику
Если произведение энергии объекта и времени соответствующего процесса слишком велико по сравнению с постоянной Планка, волновые свойства объектов не проявляются, и соотношения квантовой механики переходят в формулы классической механики, которая является ее частным случаем.
Сформулируйте постулат об измерении
Результатом измерения динамической переменной(или физ.величины) является число, пренадлежащее спектру оператора этой физ.величины
Сформулируйте принцип суперпозиции.
Если система может находиться в каких-то 2х состояниях, то она может находиться в суперпозициях этих состояний
|x>=c_1 ?|a_1>+? ? c_2 |a_2>? ,где c_1 и c_2-комплекс.числа ,и ? |с_1 |?^2-вероятность найти в этой суперпозиции состояние |a_1>?,а |с_2 |^2-вероятность найти в этой суперпозиции состояние |a_2>?; ? |с_1 |?^2+|с_2 |^2=1
Что такое кубит?
Квантовый заряд.
допускает два собственных состояния |0>? и |1>?, но при этом может находиться и в их суперпозиции
Вычислить коммутатор оператора координаты и оператора импульса (одномерный случай)
[r_(i,) p ?_i ]=ih?_i
Запишите уравнение Шредингера для частицы в яме с двумя бесконечно высокими стенками?
-h^2/2m (?^2 Ф)/(?x^2 )=EФ(x)
Что такое состояние системы?
Набор таких физических переменных, которые однозначно определяют систему в целом(Св-ва системы, ее эволюцию во времени и тд)
|a_1,a_2,a_3…a_k>??|a?>? - состояние системы по Дираку
Каков порядок массы электрона? Каковы характерные размеры ядер атомов и самих атомов ( или молекул)?
Масса электрона=9,1*10^(-31)=> порядок -31, порядок величины диаметра атомного ядра=10-13-10-12, порядок величины диаметра атома = 10-8,
Существуют ли какие-нибудь квантовые информационные системы? (если Да, то назовите их)
Да, сейчас ведутся разработки нового класса квантовых устройств - квантовых компьютеров, квантовая криптография( лазер: поле его излучения порождается квантово-механическими событиями ;современные микросхемы В диодах Ганна)
Какие квантовые информационные системы исследуются в настоящее время?
Квантовые компьютеры- набор атомов или молекул, с которыми надо производить какие-нибудь действия.
А так же квантовая криптография, микросхемы,полупроводники,диоды Ганна
Какие классические модели атома Вам известны?
Модель Томсона
Модель Резерфорда
Модель атома Бора
Что такое оператор?
Это символическое изображение математич. Операции, которая не зависит от содержания операции.
Пр. F ?=?,A ?=df/dx
Вычислить действие операторов на функцию
A ?(f(x) )=2x;B ?(f(x) )=x^3/3
Является ли оператор вычисления второй производной линейным?
Да
Оператор А=1/x, оператор В – вычисление первой производной. Вычислить: ABx2
ABx^2=A ?(2x)=2
Вычислить коммутатор [A,B] для операторов из предыдущего вопроса
[A ?,B ? ]?(x)=A ?B ?-B ?A ?=1/x ?^` (x)—1/2x ?(x)+1/x ?^` (x)=1/x^2 ?(x) =>[A ?,B ? ]=1/x^2
Можно ли переставлять операторы в произведении?
Можно, если они коммутирующие.Если не коммутирующие, то по определенному правилу-A ?B ?=B ?A ?+[A ?,B ? ]
Что определяет скалярное произведение вида

?
проекцию состояния Е на представление р(или проекцию энергию системы на импульсное представление)
Чему равно скалярное произведение ?
?(E?_n*E_n)=E_n*E_n*cos0=?E_n?^2
Перечислите постулаты квантовой теории.
Состояние(Набор таких физических переменных, которые однозначно определяют систему в целом(Св-ва системы, ее эволюцию во времени и тд) |a_1,a_2,a_3…a_k>??|a?>? - состояние системы по Дираку)
Принцип суперпозиции состояний(Если система может находиться в каких-то 2х состояниях, то она может находиться в суперпозициях этих состояний |x>=c_1 ?|a_1>+? ? c_2 |a_2>? ,где c_1 и c_2-комплекс.числа ,и ? |с_1 |?^2-вероятность найти в этой суперпозиции состояние |a_1>?,а |с_2 |^2-вероятность найти в этой суперпозиции состояние |a_2>?; ? |с_1 |?^2+|с_2 |^2=1)
Волновая функция(статическая интерпретация)
Физическая величина-оператор(Каждой физич. Величине сопоставляется в соответствие линейный эрмитовский оператор)
Уравнение Шредингера(стандартные условия)
Постулат об измерении(Результатом измерения динамической переменной(или физ.величины) является число, пренадлежащее спектру оператора этой физ.величины)
Как определен оператор импульса в координатном представлении?
p ?=-ih? ?, ? ?=(?/?x+?/?y+?/?z)
Может ли быть у оператора только два собственных числа?
Да
Найдите собственную функцию оператора первой производной по координате z.
?
Перечислите известные Вам теоремы для линейных эрмитовских операторов.
Собственные функции эрмитовских операторов образуют полный набор.
Ф(x)=?_n??c_n ?_n (x)?
Собственные значения-действительные числа
F ?f_n=f_n ?_n ; F ?^* ?f_n?^*=?f_n?^* ??_n ?^*
Собственные функции коммутирующих линейных эрмитовстких операторов одинаковы
{?(A ??_n=f_n ?_n@B ??_n=f_n ?_n )? , [A ?,B ? ]=0 ,то ?_n=?_n+ const
Собственные функции эрмитовских операторов ортонормированны
???_n^* (x) ?_m (x)dx=?_nm?{?(1,n=m@0,n?m)?
Оператор A имеет три собственных числа: а1,а2,а3. Запишите явный вид этого оператора в своем собственном представлении.
?(a_1&0&0@0&a_2&0@0&0&a_3 ) Запишите уравнение Шредингера для частицы массы m в поле тяжести U(z)=mgz.
H ?=T ?+U ? ; H ??=ih ??/?t;=> (- h^2/2m ?^2+mgz)?=ih ??/?t
Зависит ли волновая функция стационарного состояния от времени?
Да, ?(x,t)=T(t)X(x) , T(t)=e^(-iEt/h)
Что такое стандартные условия?
Непрерывна
Ограничена
Однозначна
Приведите примеры неоднозначной и неограниченной функций.
Пространственная часть волновой функции имеет вид Nexp(-ax). Какова вероятность найти частицу в интервале 10-10+dx. N и a – константы.
20N