Математическая постановка задачи стратегического планирования. Элементы теории факторного анализа

Математическая постановка задачи стратегического планирования. Элементы теории факторного анализа

Планирование ИМ представляет совокупность методов и приемов получения с помощью эксперимента на разработанной модели необходимой информации с учетом затрачиваемых на это ресурсов.
Разделяют (в терминологии Р. Шеннона) =

1. стратегическое
2. и тактическое планирование.

Стратегическое планирование ? планирование совокупности экспериментов, различающихся по исходным данным, в ходе которых должна быть получена вся необходимая информация о системе, то есть определены все интересующие исследователя свойства.

Соответственно план экспериментов позволяет разработать экономную стратегию задания исходных данных:
конечного числа вариантов структур }W,...,W{Wan1aa=; под-множеств значений параметров }V,...,V{Van1aa= для каждого из вариантов структур;
конечного множества элементов, определяющих характеристи-ки внешней среды },...,{an1aa??=?, по отношению к которым опре-деляется эффективность системы.

Данная стратегия должна обеспечить перекрытие всего спектра гипотез и условий, подлежащих проверке в ходе анализа вариантов системы и, с другой стороны, ? реализовать обозримый по времени и экономичный по затратам характер исследований путем определения наиболее информативных наборов исходных данных для ИМ.

При фиксированных исходных данных модельный эксперимент состоит из серии повторяющихся имитаций процесса функционирования системы, что позволяет получить усредненную картину относительно ее эффективности с учетом случайного характера протекающих процессов и явлений.

Естественно желание получить более точные оценки исследуемых показателей эффективности при минимальном объеме испытаний.

Оптимизация статистических испытаний в смысле минимизации их объема при выполнении заданных требований к точности и достоверности выполняется в ходе тактического планирования модельного эксперимента.

Стратегическое планирование есть оптимизация проведения экспериментов «в большом», а тактическое планирование ? оптимизация процесса моделирования «в малом» (в каждой точке фазового пространства исходных данных, определяющих облик исследуемой системы и характеристики внешней среды).

Математическая постановка и решение задачи стратегического планирования (СП) базируется на использовании методов факторного и регрессионного анализа.

Факторами называются независимые входные пе-ременные – характеристики исследуемой системы и внешней среды , определяющие в своей совокупности параметры, условия и режимы ее функционирования. k21x,...,x,xS?
Каждый из факторов имеет диапазон допустимых значений , ixmaxiiminixxx??k,1i=. Каждый фактор может принимать в экспе-рименте несколько значений , ixiLk,1i=, называемых уровнями.
Каждому фиксированному набору уровней соответствует опре-деленная точка в многомерном (k-мерном) пространстве, называе-мом факторным пространством.
Фиксированный набор уровней определяет вариант по-строения системы и описания внешней среды, одновременно представляя условия проведения или полный набор исходных данных для одного из возможных имитационных экспериментов.
Выходные переменные, характеризующие изучаемые свойства системы и зависящие от основных факторов, называются отклика-ми или реакцией системы S и обозначаются как . l1y,...,y
В ходе планирования эксперимента должны быть определены:
1) необходимый набор факторов, влияющих на исследуемую ха-рактеристику системы и описание зависимостей откликов от факто-ров;
2) установление количества уровней факторов и их значений в ходе проведения эксперимента;
3) определение необходимого количества и порядка проведения экспериментов, то есть составление собственно плана в виде комби-наций уровней различных факторов.
Зависимость любого отклика от факторов )x,...,x(yk1?= доста-точно сложна и вид ее заранее не известен. Поэтому в ходе экспери-мента пытаются искать приближенную зависимость . При этом важную роль играют методы регрессионного анализа. )x,...,x(yk1^??
Регрессией случайной величины на в широком смысле называется некоторая функция, приближенно представляющая стати-стическую зависимость YX
)Y,X()X(FY?+=,
где ? является регрессией, а )X(F)Y,X(? ? случайная ошибка такого представления.
Под регрессией случайной величины на в более узком смысле называют условное математическое ожидание при фикси-рованном значении : . YXYX[])x(fxX/YMy===?
Регрессионный анализ ? метод, обеспечивающий подбор функциональной зависимости заданного вида, при которой экс-периментальные точки ложатся на нее наилучшим образом в смысле критерия наименьших квадратов.
Задание вида кривой сводится к определению класса функ-ций, используемых для аппроксимации исходных данных.
Процедура «подбора» состоит в определении параметров (коэффициентов полиномов) функций выбранного класса.
Предполагаем, что в ходе эксперимента изучается влияние факторов k~ix~maxiiminix~x~x~??, k~,1i= на некоторую реакцию . При этом функцию реакции y)x~,...,x~(k1? с некоторой точностью можно представить в виде полинома степени 1d? от переменных k
{}?=??=k~1k~1k~1i...iik~i1i...ix...x~b~y??++?+===k~1ik~1jjiik~1iii0...x~x~b~x~b~b~
(2.1)
???+=++di...i}i...i{ik~i1i...ik~1k~1k~1k~1x~...x~b~
где 0b~, 1b~,… –коэффициенты регрессии общим числом k~dk~Ck+=.
Данное соотношение всегда может быть сведено к линейно-му полиному, если провести замену iix~x=, k,1i=; , ,...xx211k~=+
2k~1k~2xx=+, ,...xxx212k~2=+ и обозначений 00b~b=, iib~b=, k,1i=; 111k~b~b=+,k~k~1k~2bb...,=+, 122k~2bb=+ и т.д.
В результате всегда можно получить полином, описывающий линейную регрессию по отношению к k факторам
??=+===k0iiik1iii0xbxbby. (2.2)
В последнем выражении вводится фиктивный фактор . 1x0?
Пусть общее количество экспериментов равно . Тогда для ре-шения задачи надо найти оценки коэффициентов по резуль-татам наблюдения совокупности откликов , считая, что полу-ченные данные удовлетворяют системе уравнений Nk0b,...,bN1y,...,y
11kk1110101xb...xbxby?++++=,
M … M
NkNkN11N00Nxb...xbxby?++++=,
где , ijxk,0i=;N,1j= ? значения факторов в ходе экспериментов, а , j?N,1j= ? случайные погрешности определения отклика, имеющие нулевое математическое ожидание и дисперсию 2??.
Если использовать метод наименьших квадратов, то оценки , i^bk,0i= можно получить из условия минимизации величины
min)xb...xby()b...b(Ak0b...bN1j2kjkj00jk0?????==.
0bAiibbi?==??, k,0i=,
0x)xb...xby(2bAijN1jkjk^j00^ji=?????=??=, k,0i=.
Перепишем последнее уравнение в виде
?=??===N1jjijk0ttjt^N1jijyxxbx, k,0i=.
Введем векторы , и матрицуTk^0^^)b,,...b(b=TN1)y,...,y(y=rsxX=, где k,0r= ? строки, N,1s= ? столбцы.
Матрица называется матрицей планирования, ее раз-мерность равна . TX)1k(N+?
В результате получим матричное уравнение вида
XybXX^T=, TXXC=, . XybC^=
Решение уравнения для компонентов ^b имеет вид
XyCb1^?=. (2.3)
Значительного упрощения в вычислениях можно достичь, если столбцы матрицы ортогональны, то есть X
0xxN1jrjlj=?=, rl?, r0?,kl?.
Это значит, что матрица имеет вид C
??????????==kk00Tс00сXXCO, . ?==N1j2ijiixс
При ортогональной матрице коэффициенты регрессии определя-ются по формуле X
??===N1j2ijN1jjiji^xyxb, k,0i=. (2.4)
Если теперь пронормировать факторы
i0ii*ix/)xx(x??=,
imini0ixxx?+=; 2/)xx(xminimaxii?=?,
то условия ортогональности будут выполняться, если уровни факто-ров в ходе эксперимента будут взяты симметрично относительно на-чала координат и равны 1+ и 1?. Такой план эксперимента назы-вается ортогональным.
k2N=.
Если осуществляют все возможные сочетания уровней факто-ров, то получают так называемый полный факторный эксперимент (ПФЭ). Полный факторный план при двух уровнях называют еще планом D или планом – . k2
ПФЭ
№
эксперимента
х0
х1
х2
х1х2 (х3)
Реакция y
1
1
?1
?1
+1
y1
2
1
+1
?1
?1
y2
3
1
?1
+1
?1
y3
4
1
+1
+1
+1
y4
x1
+1
?1
+1
0
?1
x2
Рис. 2.7. Пример формирования матрицы планирования при 2k=
Для сокращения количества экспериментов в ряде случаев мож-но реализовать матрицу планирования, содержащую часть полного факторного плана, то есть провести дробный факторный экспери-мент (дробный план).
Сущность дробного факторного эксперимента сводится к сокращению числа членов аппроксимирующего полинома за счет смешивания основных факторов с теми, которые на основании априорных или интуитивных соображений слабо влияют на изу-чаемый процесс.
Используя матрицу планирования рис. 2.7, можно вычислить ко-эффициенты и представить результаты в виде уравнения
211222110xxbxbxbby+++=.
Если в выбранных интервалах варьирования ограничиться опи-санием системы линейной моделью, то достаточно определить три коэффициента . При этом остается одна степень свободы, ко-торую можно использовать для минимизации числа испытаний. 210b,b,b
При линейном описании и вектор-столбец значений можно использовать для нового фактора . В этом случае раз-дельных оценок, которые имели бы место при реализации ПФЭ типа , уже не будет. 0b12?21xx3x32
При использовании плана, полученного после подстановки зна-чений , нет, также, разницы между значениями и , и , и . В результате происходит смешивание факто-ров, а получаемые оценки смещаются 213xxx=0x321xxx1x32xx2x31xx
=+++++++=3211233223311321123322110xxxbxxbxxbxxbxbxbxbby
=+++++++=2312312223221132112322110xbxxbxxbxx)bb(xbxbb
3123213212311230x)bb(x)bb(x)bb()bb(+++++++=.
Это означает, что вместо искомых оценок коэффициентов фак-тически находятся смещенные оценки
12300bbb+?, 2311bbb+?, 1322bbb+?, , 1233bbb+?
Этим смещением пренебрегают, считая, что 0b12?, , 0b23?0b13?, . 0b123?
Таким образом, вместо испытаний в рамках ПФЭ можно провести только в рамках дробного эксперимента. 3222
Правило проведения дробного эксперимента формулируется следующим образом: для сокращения числа испытаний новому фактору присваиваются значения вектор-столбца матрицы, при-надлежащего взаимодействию, которым можно пренебречь.
Формирование дробного эксперимента из четырех испытаний для оценки влияния трех факторов осуществляется на основе полови-ны ПФЭ типа . Эта половина называется полурепликой. Их может быть две: 32
первая полуреплика получается, если приравнять и , при этом ; 3x21xx1xxx321=
вторая полуреплика получается, если приравнять и , при этом 21xx?3x1xxx321?=.
Таблица 2.1. Формирование дробных планов
213xxx=
213xxx?=
№
испыта-ния
1x
2x
3x x1x2x3
№
испыта-ния
1x
2x
3x x1x2x3
1
+1
+1
+1
1
1
+1
+1
?1
?1
2
?1
?1
+1
1
2
?1
?1
?1
?1
3
+1
?1
?1
1
3
+1
?1
+1
?1
4
?1
+1
?1
1
4
?1
+1
+1
?1
Таким образом, для выбора условий испытаний в рамках СП необходимо установить перечень существенных факторов, значимо влияющих на величину искомого показателя эффективности системы.
Далее из априорных предположений выбирается вид аппрокси-мирующего полинома, для которого определяется матрица планиро-вания, реализующая различные комбинации уровней факторов.
С учетом анализа взаимодействий проводится рациональное усечение матрицы с целью сокращения объема экспериментов.
Полученная совокупность сочетаний уровней факторов дает полное представление о том, каков должен быть стратегический план эксперимента.